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Corrigé 2010 : Pendule pesant

Détails: Catégorie : Mécanique

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3.1.: (0,5pt)
$T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}=2\pi\sqrt{\frac{50.10^{-2}}{9,8}}=1,42s$
Lalongueur du fil pour que le pendule'batte la seconde"

$T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\rigntarrow l=\frac{T^{2}g}{4\pi^{2}}=\frac{2^{2}\times9,8}{4\pi^{2}}\approx 1m$

3.2. :
3.2.1. :
Ssystème matériel : la bille
Bilan des forces : le poids $\vec{P}$ et la tension du fil $\vec{T}$

Théorème du centre d"inertie : $\vec{P}+\vec{T}= m\vec{a}(2)$
Repèr de Frenet
Projection de 2 sur l'xe normal donne $T-Psin\theta=ma_{n}\rigntarrow T=Psin\theta +ma_{n}$
Soit $T=mgsin\theta +m\frac{v^{2}}{l}=mgsin\theta+\frac{m}{l}\left(v^{2}_{o}+2gl\left(sin\theta-sin\theta_{o}\right)\right)$
d'où $T=\frac{mv^{2}_{o}}{l}+mg(3sin\theta-2sin\theta_{o}$

3.2.3. (0,5pt)
Pour effectuer un tour complet $T\geq 0$ lorsque $\theta=\frac{3\pi}{2}$

soit $\frac{mV_{0}^{2}}{l}+mg\left(3sin\frac{3\pi}{2}-2sin\theta_{o}\right)\geq 0_{o}$

$\rightarrow\frac{mV_{0}^{2}}{l}\geq mg(3+2sin\theta_{o})\rightarrow V_{0}^{2}\geq gl(3+2sin\theta_{o})$

donc $V0_{m}=\sqrt{gl(3+2sin\theta_{o})}=\sqrt{9,8\times0,5(3+2sin15)}=4,15m/s$

3.2.4. :
3.2.4.1. : (0,5)
$\vec{vA}\left\{\begin{array}{l}\textrm{direction : tangente la trajectoire au point A}\\\textrm{sens vers le bas}\\intensité : v_{A}=\sqrt{4,15^{2}+2\times 9,8\times 0,5(sin45-sin15} = 4,65 m.s^{-1}\end{array}\right.$

3.2.4.2. :(0,75pt)
Théorème du centre dinertie sur la bille : $\vec{P}=\vecm{a}\rightarrow\vec{a}\vec{g}$

Projection de cette relation sur les axes donne :

$\left\{\begin{array}{c}a_{x}=0\\a_{y}=g\end{array}\right.\rightarrow\left\{\begin{array}{c}v_{x}=-v_{A}sin\alpha\\v_{y}=gt+v_{A}cos\alpha\end{array}\right.\rightarrow\left\{\begin{array}{c}x =-v_{A}tsin\alpha+lcos\alpha\\y=\frac{1}{2}gt^{2}+v_{A}tcos\alpha+lsin\alpha\end{array}\right.$