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Corrigé 2008 : Accélérateurs de particules

Détails: Catégorie : Electromagnétisme

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1. Etude d'accélérateur linéaire : le modèle de Wideröe

1.1. Entre deux tubes, il existe un champ électrique uniforme $\vec{E}$ constant pendant la durée courte de traversée. Sur la particule s'exerce la force électrostatique $\vec{F}=q\vec{E}=cte$ .

Par application de la deuxième loi de Newton on obtient : $\vec{F}=q\vec{E}=m\vec{a}=cte$

d'où $\vec{a}=\frac{q\vec{E}}{m}=cte$ .

La vitesse initiale étant nulle, la particule est animée d'un mouvement rectiligne uniformément accéléré.

Par application du théorème de l'énergie cinétique on obtient : $\Delta EC=qU$

1.2. A l'intérieur du tube le champ est nul, la particule n'est soumise à aucune force $\Sigma\vec{F}=\vec{0}$ d'où la particule est en mouvement rectiligne uniforme, la vitesse est constante.

Durée de la traversée : $\theta =\frac{L}{V}$ .

La période $\theta =\frac{T_{0}}{2}$ d'où $T_{0} =\frac{2L}{V}$

2. Etude d'un accélérateur circulaire : le cyclotron

2.1 a. Entre deux dees le champ $E$ est uniforme. Particule soumise à la force $\vec{F}=q \vec{E}=cte$ .

Par application de la deuxième loi de Newton on montre que le mouvement de la particule est rectiligne uniformément accéléré.

Théorème de l'énergie cinétique :

$\frac{1}{2}mV_{1}^{2}=eU$ d'où l'on tire $V_{1}=\sqrt{\frac{2eU}{m}}$

Apllication numérique : $V_{1}=8,75.10^{5}m.s^-1$

2.2. le proton es soumis à la force magnétique : $\vec{F}m=q\vec{V}\wedge\vec{B}$

Par application de la deuxième loi de Newton, on tire : $\vec{a}=\frac{q\vec{V}\wedge\vec{B}}{m}$

Le vecteur accélération est centripète ; d'où $\frac{dV}{dt}=0$ donc V = cte d'où le mouvement est uniforme.

Expression du rayon : on a $a=\frac{V^{2}}{R_{1}}=\frac{eV_{1}}{m}$ impliquant que $R_{1}=\frac{mV_{1}}{eB}$

En remplaçant par son expression on obtient : $R_{1}=\sqrt{\frac{2mU}{eB^{2}}}$

Par application numérique : $R_{1}=9,14.10^{-3}m$

temps de transit dans le dee D1

$\tau=\frac{\pi R_{1}}{V_{1}}$ on obtient $\tau=\frac{\pi m}{eB}$

$\tau$ est indépendant de la vitesse, donc c'est non modifié par le champ électrique accélérateur

Application numérique $\tau = 3,28.10^{-8}s$

2.3. Comme en 2.2. on a $R_{2}=\frac{mV_{2}}{eB}$ et $\tau'=\frac{\pi m}{eB}$

on a $\tau' =\tau$

2.4.

Si on applique le théorème de l'énergie cinétique entre D1 et D2 on obtient:

$\frac{1}{2}mV_{2}^{2}-\frac{1}{2}mV_{1}^{2}=eU$

d'où l'on tire : $V_{2}^{2}-V_{1}^{2}=\frac{2eU}{m}$

Or d'après 2.1. on a $V_{1}^{2}=\frac{2eU}{m}$ d'où $V_{2}^{2}=2 V_{1}^{2}$

Ainsi on montre que $V_{3}^{2}=3 V_{1}^{2}$ ; $V_{4}^{2}=4 V_{1}^{2}$

et plus généralement $V_{n}^{2}=n V_{1}^{2}$ .

$R_{n}=R_{1}\sqrt{n}$ et $n=\frac{R_{n}^{2}}{R_{1}^{2}}$

Application numérique : $n \approx 234$ demi-tours soit 117 tours

$V_{n}=V_{1}\sqrt{n}$ ; soit $Vn=1,34.10^{7}m.s^-1$

Ddp U à appliquer au proton pour lui communiquer cette vitesse.

On applique le théorème de l'énergie cinétique et on trouve $U' = \frac{1}{2e}mV_{n}^{2}$

Application numérique : U' = 936.000 Volts

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