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2007 : Equivalence entre un oscillateur électrique et un oscillateur mécanique

Détails: Catégorie : Exercices du BAC

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NB : les deux parties de l’exercice sont indépendantes.

Première partie

Dans cette partie on se propose de comparer le fonctionnement d’un oscillateur électrique avec celui d’un oscillateur mécanique pour faire ressortir des analogies.

1. On réalise un circuit comprenant une bobine d’inductance L dont la résistance est supposée nulle et un condensateur de capacité C ; initialement l’interrupteur K est ouvert [figure (a)].

Le condensateur est d’abord chargé sous une tension constante U par un dispositif non représenté sur la figure. On ferme ensuite l’interrupteur K.

1.1. Etablir l’équation différentielle traduisant les oscillations électriques qui se déroulent dans le circuit en prenant comme variable la charge q d’une armature du condensateur. [Le circuit est orienté comme indiqué sur la figure (a)]. (0,50 point)

1.2. En déduire la période des oscillations. Applications numériques : L = 0,10H ; $C =1,0.10^{-5} F$ . (0,50 point)

2. On considère un solide A de masse m pouvant glisser sans frottement sur un support horizontal. Le solide est lié à l’une des extrémités d’un ressort de masse négligeable et de raideur k ; l’autre extrémité du ressort étant fixée en un point E (figure b).

On déplace le solide A de façon à provoquer l’allongement du ressort et on l’abandonne sans vitesse initiale.

2.1. Etablir l’équation différentielle du mouvement du solide A en prenant comme variable l’élongation x du solide, le mouvement étant rapporté au repère X’X dont l’origine coïncide avec la position du centre d’inertie G du solide à l’équilibre [figure (b)] (0,50 point)

2.2. En déduire la période des oscillations. Applications numériques : m = 0,50 kg ; k = 25 N/m. (0,50 point)

3. Recopier puis compléter le tableau ci-dessous pour faire apparaître les analogies entre les grandeurs électriques de la question 4.1 et les grandeurs mécaniques de la question 4.2 (01,5 point)

Grandeurs mécaniques	Grandeurs électriques
masse (m)
Raideur du ressort (k)
Elongation (x)
Vitesse (v)
Energie cinétique Ec $\left( \frac{1}{2}mv^{2} \right)$
Energie potentielle élastique Epe $\left( \frac{1}{2}kx^{2} \right)$

Deuxième partie

Un générateur BF maintenant entre ses bornes une tension sinusoïdale de fréquence N, alimente un circuit contenant en série une bobine d’inductance L = 36 mH et de résistance $R_{1}$ et un résistor de résistance $R_{2}= 12,5 \Omega$ . La tension efficace aux bornes du générateur est U = 64 V.

On mesure l’intensité efficace du courant, on trouve I = 3,2 A.

Puis l’on mesure la tension efficace $U_{1}$ aux bornes de la bobine et la tension efficace $U_{2}$ aux bornes du résistor, on trouve $U_{1} = U_{2}$ .

4. Montrer que les impédances $Z_{1}$ de la bobine et $Z_{2}$ du résistor sont égales. Donner la valeur numérique commune. (0,50 point)

5. Construire le diagramme de Fresnel relatif au circuit.

On posera : $i = I\sqrt{2}sin(\omega t)$ et $u = U\sqrt{2}sin(\omega t + \phi)$ respectivement pour l’intensité instantanée i du courant et la tension instantanée u aux bornes du générateur.(0,50 point)

6. Calculer les valeurs numériques de $\phi$ , de $R_{1}$ et du produit $L\omega$ . Calculer alors la valeur de la fréquence. (01 point)

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