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Corrigé 1998 : Familles radioactives

Détails: Catégorie : Physique atomique

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5.1.1 $_{Z}^{A}X\rightarrow _{Z-2}^{A-4}Y+_{2}^{4}H_{e}$

5.1.2 $_{Z}^{A}X\rightarrow _{z+1}^{A}Y+_{-1}^{0}e+_{82}^{206}Pb+_{0}^{0}\overline{V}$

5.1.3

$_{92}^{238}U\rightarrow x_{2}^{4}H_{e}+y_{-1}^{0}e+_{82}^{206}Pb$

conservation de la charge

$92=2x-y+82\Longrightarrow 2x-y=10\left( 1\right)$

conservation de la masse

$238=4x+0+206=32\Longrightarrow x=\frac{32}{4}=8$

$\left( 1\right) \Longrightarrow y=2x-10=16-10=6$

Il y a 8 désintégrations $\alpha$ et 6 désintégrations $\beta$

5.2.1 : calcul en MeV de l'énergie libérée.

$_{84}^{210}Po\rightarrow _{4}^{2}H_{e}+_{82}^{206}Pb$

$\Delta m=209,9828m-\left( 205,9745m+4,0015m\right) =0,00585m$

$E=\Delta mC^{2}=-0,00585\ast 931,5=5,45MeV$

5.2.2

$\left\vert E\right\vert =\frac{1}{2}mV_{\alpha }^{2}$

$V_{\alpha }^{2}=\frac{2\left\vert E\right\vert }{m}\Longrightarrow V_{\alpha }=\sqrt{\frac{2\left\vert E\right\vert }{m}}$

$V_{\alpha }=1,66.10^{7}.m.s^{-1}$

5.2.3 calcul de la vitesse de recul

conservation de la quantitéde mouvement

$m_{\alpha }.\overrightarrow{V}_{\alpha }+m_{Pb.}\overrightarrow{V}_{Pb}=\overrightarrow{0}\Longrightarrow m_{Pb.}\overrightarrow{V}_{Pb}=-m_{\alpha}.\overrightarrow{V}_{\alpha }$

. $\overrightarrow{V}_{Pb}=-\frac{m_{\alpha }}{m_{pb}}.\overrightarrow{V}_{\alpha }=3,15.10^{5}.m.s^{-1}$

3. Age de l'échatilllon n:

$N_{u}=N_{D}e^{-\lambda t};N_{pb}=N_{D}-N_{u}=N_{D}\left( 1-e^{-\lambda t}\right)$

$\Longrightarrow \frac{N_{pb}}{N_{D}}=1-e^{-\lambda t}=1-\frac{N_{pb}}{N_{D}}$

$\Longrightarrow -\lambda t=\ln \left( 1-\frac{N_{pb}}{N_{D}}\right)\Longrightarrow t=-\frac{1}{\lambda }\ln \left( 1-\frac{N_{pb}}{N_{D}}\right) =-\frac{T}{\ln 2}\ln \left( 1-\frac{N_{pb}}{N_{D}}\right)$

$\ln \left( 1-\frac{N_{pb}}{N_{D}}\right) =-\frac{N_{pb}}{N_{D}}\Longrightarrow t=-\frac{T}{\ln 2}\times \left( -\frac{N_{pb}}{N_{D}}\right) =\frac{T}{\ln 2}\times\frac{N_{pb}}{N_{D}}$

$\Longrightarrow t=\frac{T}{\ln 2}\frac{m_{pb}}{m_{u}}\times \frac{M_{u}}{M_{pb}}$

$t=7,5.10^{5}ans$

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