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Corrigé 2005 :Fission de l’uranium et désintégration du césium

Détails: Catégorie : Physique atomique

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5.1:

    $_{235}^{92}U +_{1}^{0}n\rightarrow _{x}^{54}Xe + _{94}^{y}Sr + 2_{1}^{0}n$

conservation du nombre de nucléons : $235 + 1 = x + 94 + 2 \times 1 \rightarrow x = 236 - 94 - 2 = 140$

conservation du nombre de charge : $92 = 54 + y \rightarrow y = 92 - 54 = 38$

5.2 :

L'énergie libérée (en joules) lors de la fission d'un noyau d'uranium $_{235}^{92}U$ .

L'énergie libérée est donnée par l'expression $E=\Delta m c^{2}$ .

$\Delta m$ est la variation de la masse durant la réaction.

c est la vitesse de la lumière.

$E=\{[m(U)+m(n)] - [m(Xe)+m(Sr)+2m(n)]\}c^{2}= \{m(U) - [m(Xe)+m(Sr)+m(n)]\}c^{2}$

Application numérique :

$E=\{235,120 - [138,955+94,945+1,008]\times {1,6605.10}^{-27}\}\times {9}.10^{16}=3,168234.10^{-11}J$

L'énergie libérée (en MeV) lors de la fission d'un noyau d'uranium $_{235}^{92}U$ .
On sait que $1 MeV = 1,6.10^{-13} J$ donc

$E=\frac{{3,168234.10}^{-11}}{{1,6.10}^{-13}}=198,015 MeV$

5.3:

Valeur de l'énergie libérée par noyau transformée en énergie électrique : $E_{1}=\frac{30\times E}{100}$

Nombre de réactions nucléaires pour faire fonctionner chaque jour le réacteur sachant que l'énergie nécessaire est $E_{2} = 1,5.10^{8} MJ$ .

$n=\frac{E_{2}}{E_{1}}=\frac{100\times E_{2}}{30\times E}$

D'après l'équation bilan de la réaction, ce nombre de réactions est égal au nombre de noyaux d'uranium consommés donc la masse d'uranium consommée par jour est donnée par :

$m=n\times m(U)=\frac{100\times E_{2}}{30\times E}\times m(U)=\frac{100\times 1,5.10^{14}}{30\times 3,168234.10^{-11}}\times 235,120\times 1,6605.10^{-27}=6,1614 kg$

5.4:

5.4.1:

Équation de la désintégration d'un noyau de césium 137 :

$_{137}^{55}Cs\rightarrow _{0}^{-1}e+_{137}^{56}Ba$

5.4.2:

$t_{\frac{1}{2}}=30 ans =30\times {365}\times {24}\times {3600}= 946080000 s$

La constante radioactive $\lambda$ est donnée par l'expression : $\lambda =\frac{\ln 2}{t_{1/2}}$

Application numérique :

$\lambda =\frac{\ln 2}{30\times 365\times 24\times 3600}=7,32.10^{-10}s^{-1}=0,0231 an^{-1}$

Signification physique de $\lambda$

5.4.3:

L'expression littérale de la masse m de césium 137 restant à l'instant de date t en fonction de m_{0} et t_{1/2} est : $m=m_{0}e^{-{\frac{ln2}{t_{1/2}}}t}$

5.4.4:

si $t = n t_{1/2}$ alors $m=m_{0}e^{-{\frac{ln2}{t_{1/2}}}n\times t_{1/2}}=m_{0}e^{-n ln2}$

Or $e^{- nln2}=e^{ln2^{-n}}=e^{\ln \frac{1}{2^{n}}}=\frac{1}{2^{n}}$

d'où $m=\frac{m_{0}}{2^{n}}$

Détermination de la durée approximative au bout de laquelle la masse restante de césium 137 est égale à 1% de sa masse initiale.

la masse restante de césium 137 est égale à 1% de sa masse initiale donc $m=\frac{m_{0}}{100}$ , aussi $m=\frac{m_{0}}{2^{n}}$

soit :

$\frac{m_{0}}{100}=\frac{m_{0}}{2^{n}}\rightarrow 2^{n}=100\rightarrow \ln 2^{n}=\ln 100\rightarrow n\ln 2=\ln 100\rightarrow n=\frac{\ln 100}{\ln 2}$

Durée approximative au bout de laquelle la masse restante de césium 137 est égale à 1% de sa masse initiale :

$t = n t_{1/2}$ soit $t=\frac{\ln 100}{\ln 2}t_{1/2}=\frac{\ln 100}{\ln 2}\times 30=199,32 ans$

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