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Corrigé 1999 : Analogie entre les oscillations électrique et mécanique

Détails: Catégorie : Oscillations électriques

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1. Equation différentielle du mouvement du solide.

(image inconnue)

$\sum \overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}\Longrightarrow \overrightarrow{P}+\overrightarrow{R}+\overrightarrow{T}+\overrightarrow{F^{\prime }}+\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}$

$\overrightarrow{P}+\overrightarrow{R}=\overrightarrow{0}\Longrightarrow \overrightarrow{T}+\overrightarrow{F^{\prime }}+\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}$

En projetant la relation vectorielle ci-dessus suivant l'axe $X^{\prime }X$
on a :

$-T-F^{\prime }+F=ma$ or

$T=Kx;$ $F^{\prime }=\lambda V;F=F_{m}\cos \omega t;a=\frac{dV}{dt}$

$-Kx-\lambda V+F_{m}\cos \omega t=m\frac{dV}{dt}\Longrightarrow m\frac{dV}{dt}+K\int Vdt+\lambda V=F_{m}\cos \omega t$

2.Equation diff\'{e}rentielle d'un circuit $R,L,C$

$u=u_{c}+u_{R}+u_{B}$

$U_{m}\cos \omega t=Ri+L\frac{di}{dt}+\frac{1}{C}\int idt$

Analogie entre les grandeurs électrtrique et mécanique

$R\rightarrow \lambda ;L\rightarrow m;\frac{1}{C}\rightarrow K;i\rightarrow V;U_{m}\rightarrow F_{m}$

3.Construction de Fresnel de l'oscillateur

$F_{m}^{2}=\lambda ^{2}V_{m}^{2}+\left( \frac{V_{m}K}{\omega }-m\omega V_{m}\right) ^{2}\Longrightarrow F_{m}=V_{m}\sqrt{\lambda ^{2}+\left( \frac{K}{\omega }-m\omega \right) ^{2}}$

$\tan \varphi =\frac{\frac{K}{\omega }-m\omega }{\lambda }$

$Z_{m\acute{e}ca}=\frac{F_{m}}{V_{m}}\Longrightarrow Z_{m\acute{e}ca}=\sqrt{\lambda ^{2}+\left( \frac{K}{\omega }-m\omega \right) }et$ $X_{m}=\frac{V_{m}}{\omega }$

6.Valeur de $\omega$ pour avoir la résonance mécanique

$\omega =\frac{K}{m}$

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