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1999 : Analogie entre les oscillations électrique et mécanique

Détails: Catégorie : Exercices du BAC

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Un solide $(S)$ de masse m est fixé à l'extrémité d'un ressort de raideur $K$ , conformément au schéma ci-dessous.Un dispositif approprié crée une force excitatrice $\overrightarrow{F}=\left( F_{m}\cos \omega t\right) \overrightarrow{i}$ , assurant le mouvement de $(S)$ sur l'axe $X\prime OX$ .Soit $\overrightarrow{F^{\prime }}=-\lambda \overrightarrow{V}$ la résultante des forces de frottement que subit $(S)$ lors de son mouvement de translation . $\lambda$ est une constante positive,est le vecteur vitesse de $(S)$ avec $V_{x}=V_{m}\left( \cos \omegat+\phi \right)$ .

1. En appliquant le principe fondamental de la dynamique au solide $(S)$ , établir l'équation différentielle qui régit son mouvement en fonction de $m$ , $\frac{dv}{dt}$ , $V$ , $\int vdt$ , $\lambda$ et $K$ .

2. Aprés avoir établi l'équation différentielle d'un circuit R, L, C aux bornes duquel on a appliqué une tension , faire l'étude analogique entre les grandeurs mécaniques de l'oscillateur et les grandeurs électriques.

3. A l'aide de ces analogies, faire la construction de Fresnel de l'oscillateur.

4. A l'aide de la construction de Fresnel, déterminer $F_{m}$ et $\phi$ en fonction de , $\lambda$ , $K$ , $\omega$ et $m$ .

5. Etablir les expressions de l'impédance mécanique $Z_{\left(mec\right) }$ et de l'amplitude $X_{m}$ des oscillations mécaniques.

6. Pour quelle valeur de $\omega$ a-t-on la résonance mécanique.

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