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Corrigé 2002 : Hommage aux lions du football

Détails: Catégorie : Mécanique

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1. Tire sans obstacle

1.1. Mouvement plan

Appliquons le théorème du centre d'inertie au ballon choisi comme système dans le référentiel terrestre.

$z=0$ est l'équation du plan $(OX,OY)$ dans lequel s'effectue le mouvement du ballon.

1.2. Equation de la trajectoire du ballon :

En éliminant le paramètre temps t dans les équations horaires, on obtient :

$y=-\frac{g}{2V_{0}^{2}\cos ^{2}\alpha }x^{2}+x\tan \alpha$

1.3. Valeurs de $V_{0}$ pour que le but soit réussi :

Le but est réussi ssi $0<y_{M}<h$ avec $xM=d=25m$

$-\frac{gd^{2}}{2V_{0}^{2}\cos ^{2}\alpha }+d\tan \alpha <h\Longrightarrow gd^{2}>-2V_{0}^{2}\cos ^{2}\alpha \left( h-d\tan \alpha \right) \Longrightarrow V_{0}<\sqrt{\frac{gd^{2}}{2\cos ^{2}\alpha \left( d\tan \alpha -h\right) }}$

$y_{M}>0\Longrightarrow --\frac{g}{2V_{0}^{2}\cos ^{2}\alpha }d^{2}+d\tan \alpha \geq 0\Longrightarrow V_{0}\geq \sqrt{\frac{gd}{2\cos ^{2}\alpha \tan \alpha }}$

$\sqrt{\frac{gd}{\sin 2\alpha }}\leq V_{0}<\sqrt{\frac{gd^{2}}{2V_{0}^{2}\cos ^{2}\alpha \left( d\tan \alpha -h\right) }}$

$16,83m/s\leq V_{0}<18,5m/s$

2. Tir avec obstacle

2.1.

a. le ballon n'est pas arrêté par le mur

Cherchons pour $x=d\prime$ , la valeur de $Y$

$Y=\frac{g}{2V_{0}^{2}\cos ^{2}\alpha }d^{\prime }^{2}+d^{\prime }\tan \alpha =6,5m>h^{\prime }$ , donc le ballon n'est pas arrêter.

b. point d'impact :

2.2. Dans l'équation cartésienne de la trajectoire, pour $y=0$ on a $x=25m$

2.3. Durée du mouvement entre le mur et le but :

$\Delta t=\frac{X_{M_{1}}}{V_{0}\cos \alpha }=\frac{d^{\prime }}{V_{0}\cos\alpha }=\frac{\left( d-d^{\prime }\right) }{V_{0}\cos \alpha }=1,1s$

3.2.4. vitesse du gardien de but pour que le ballon ne rentre pas dans le but :

$V=\frac{\Delta z}{\Delta t}=\frac{3,66}{1,1}=3,33m/s.$

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