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Corrigé 2001 : Energie potentielle,mouvement d’unsatellite,vitesse de libération

Détails: Catégorie : Mécanique

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3.1.Champ à la surface de la Lune

$g_{0L}=\frac{KM_{L}}{R_{L}^{2}}=1,62m/s^{2}$

3.2. Force de gravitation exercée par la Lune sur la Terre

$F_{T/L}=\frac{KM_{T}\ast M_{L}}{\left( R_{1}+R_{2}+D\right) ^{2}}=1,9.10^{20}N$

3.3. Point M où la force de gravitation est nulle :

En ce point $F_{1}=F_{2}$

$F_{1}=F_{2}\Longrightarrow g_{1}=g_{2}$ d'où $\frac{g_{r}R_{r}^{2}}{r_{1}^{2}}=\frac{g_{L}R_{L}^{2}}{r_{2}^{2}}\Longrightarrow \frac{g_{r}R_{r}^{2}}{g_{L}R_{L}^{2}}=\frac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}}$

$\frac{r_{1}}{r_{2}}=\sqrt{\frac{g_{r}R_{r}^{2}}{g_{L}R_{L}^{2}}}=9$ or $r_{1}=R_{r}+x_{1}$ et $r_{2}=R_{L}+x_{2}$

$R_{r}+x_{1}=9\left( R_{L}+x_{2}\right)$

$x_{1}+x_{2}=D$

$AN:x_{2}=37472km$ et $x_{1}=34529km$

3.4. Energie potentielle de gravitation.

Considérons que le satellite s'élève d'un distance élémentaire $M_{1}M_{2}=dr$

$\delta W=-Fdr$ or $\delta W=-dE_{P}\Longrightarrow dE_{p}=Fdr$

$E_{p}=KMm\int \frac{1}{r^{2}}dr\Longrightarrow E_{p}=-\frac{KMm}{r}+C$

$C=0$ car à l'infini $E_{p}=0$ ainsi $E_{p}=-\frac{KMm}{r}$

3.5. Première vitesse de libération $V_{1}$

$E=E_{c}+E_{p}$

$E_{c}=\frac{1}{2}mV^{2}=\frac{1}{2}mR^{2}\frac{g_{0}}{r}$ avec $V=R\sqrt{\frac{g_{0}}{r}}$

$g_{0}R^{2}=KM\Longrightarrow E_{c}=\frac{KmM}{2r}$ et $E_{p}=-\frac{KmM}{r}$

$E=-\frac{KmM}{2r}$

à $\infty$ $E_{\infty }=0\Longrightarrow E_{sol}=0$ et $E=Cte$

$E_{sol}=0\Longrightarrow \frac{1}{2}mV_{1}^{2}-\frac{KmM}{R}=0$

$V_{1}=\sqrt{\frac{2KM}{R}}$

$V_{1T}=12,2Km/s$ et V $_{1L}=2,37Km/s$

3.6. Altitude d'un satellite géostationnaire

$h=\sqrt[3]{\frac{g_{0}R^{2}T^{2}}{4\pi ^{2}}}-R\approx 36000km$

3.7

$T=\frac{26}{370}=7,027.10^{-2}j=6,071.10^{3}\pm 60,71s$

$h=\sqrt[3]{\frac{KM_{T}T^{2}}{4\pi ^{2}}}-R=824km$

la trajectoire est circulaire.

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