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Corrigé 1997 : Oscillations mécaniques libres de deux ressorts montés en parallèles

Détails: Catégorie : Mécanique

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1. Allongement du chargement

Système étudié : Solide $S$ ; Bilan des forces $\overrightarrow{ T_{01}}$ , $\overrightarrow{T_{02}}$ , $\overrightarrow{R}$ , $\overrightarrow{P}$

$S$ étant en équilibre : $\overrightarrow{T_{01}}+\overrightarrow{ T_{02}}+\overrightarrow{R}+\overrightarrow{P}=\overrightarrow{0}(1)$ .
Projetons $(1)$ sur $x\prime ox$

$k_{1}x_{01}=k_{2}x_{01}\Longrightarrow x_{01}=x_{02}$

3.2.

$L=2_{l_{0}}+x_{01}+x_{02}=2lo+2x_{01}=2\left( l_{0}+x_{01}\right) l_{0}$

d'où $x_{01}=\frac{L}{2}-l_{0}\textrm{ = 20 - 15 = 5 cm}$

L = 2 + cm

2.1. Equation différentielle. Système étudié : solde $S$

Bilan des forces : $\overrightarrow{T_{1}},\overrightarrow{T_{2}}, \overrightarrow{R},\overrightarrow{P}$

$\overrightarrow{T_{1}}+\overrightarrow{T}+\overrightarrow{R}+ \overrightarrow{P}=m\overrightarrow{a}$ $(1)$

$projetons$ ( 1 ) sur $x\prime ox$ $-k_{1}\left( x_{01}+x\right) +k_{2}\left( x_{02}-x\right) =mx^{\prime }$

$mx^{\prime }+\left( k_{1}+k_{2}\right) x=0;k_{1}=k_{2}=k$ $on$ a $mx^{\prime }+2kx=0$

2.2. Pour $K=2k$

$Mx^{\prime }+Kx=0\Longrightarrow x^{\prime }+\frac{K}{m}x=0\Longrightarrow \omega_{o}=\sqrt{\frac{K}{m}}=\sqrt{\frac{2K}{m}}$

$\Longrightarrow \omega_{o}=\sqrt{\frac{2\times 10}{0,2}}=10rd/s$

La solution est de la forme $x=X_{m}\cos \varphi >0$ on a $\cos \varphi >0$

$v=-\omega _{0}X_{m}\sin \left( \omega _{0}t+\varphi \right)$

à $t=0\Longrightarrow v_{0}=-\omega _{0}X_{n}\sin \varphi =0\Longrightarrow \sin \varphi =0\left\{ \begin{array}{c} \varphi =0 ou \varphi =\pi \end{array} \right.$

$\varphi =0$ ou $\varphi =p$

avec $\cos \varphi >0$ ainsi $\varphi =\pi$

$X_{m}\cos 0=X_{1}\Longrightarrow X_{m}=X_{1}=3.10^{-2}m$ $x=3.10^{-2}\cos10t$

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