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Corrigé 1998 : Pendule simple-mouvement dans le champ de pesanteur avec une vitesse initiale

Détails: Catégorie : Mécanique

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5.1.1. Expression de la tension T

Système étudié : solide S

Bilan des forces : $\overrightarrow{P}$ (Poids du solide)

$\overrightarrow{T}$ (Tension du fil)

Appliquons le théorème du centre d'inertie au solde S dans le referentiel galileen $(S,\vec{u},\vec{n})$

$\vec{P}+\vec{T}=m\vec{a}$

Projetons ( 1 ) sur $\vec{n}$

$T-P\cos a=ma_{n}=m\frac{V^{2}}{l}$

$T=P\cos a+m\frac{V^{2}}{l}$

5.1.2

Le fil reste tendu si $T>O$

$mg+\cos a+m\frac{V^{2}}{l}>0$ ; $\cos \prec \prec si\alpha =\pi \Longrightarrow \cos \alpha =-1$

$-mg+m\frac{V_{H}^{2}}{l}=0\Longrightarrow m\frac{V_{H}^{2}}{l}=mg\Longrightarrow V_{H}^{2}=gl$

$V_{H}=\sqrt{gl}=\sqrt{10\ast 0.5}=2.23m.s^{-1}$

Appliquons le théorème de l'énergie cinétique en $MO$ et $M(a=P)$

$\frac{1}{2}mV_{H}^{2}-\frac{1}{2}mv_{0}^{2}=-2mgl$

$v_{H}^{2}-v_{0}^{2}=-4gl\Longrightarrow v_{0}^{2}=v_{H}^{2}+4gl$

$v_{0}^{2}=gl+4gl=5gl$

$v_{0}=\sqrt{5gl}-4gl=5m.s^{-1}$

5.2

5.2.1.

calcul de $V_{E}$ Système étudié : solide $S$ .

Bilan des forces : $\overrightarrow{P}$ (Poids du solide)

$\overrightarrow{T}$ (Tension du fil)

Appliquons le théorème de l'énergie cinétique.

$\frac{1}{2}mV_{E}^{2}-\frac{1}{2}mV_{0}^{2}=W_{\overline{P}}+W_{\overline{T}}$

$W_{\overline{T}}=0car\overline{T}\perp déplacement$

$W_{\overline{P}}=-mgl(1-\cos \beta )>0$

$\frac{1}{2}mV_{E}^{2}-\frac{1}{2}V_{0}^{2}=-mgl(1-\cos \beta )$

$V_{E}^{2}-V_{0}^{2}=-2gl(1-\cos \beta )$

$V_{E}^{2}=-2gl(1-\cos \beta )$

$V_{E}=\sqrt{v_{0}^{2}-2gl(1-\cos \beta )}$

$V_{E}=2\sqrt{5}m.s^{-1}=4,46m.s^{-1}$

5.2.2 : Equation dans le repère $(x' Ex,y' Ey)$

Système étudié : solide S

Bilan des forces : $\vec{P}$

Appliquons le théorème du centre d'inertie au solde $S$ dans le référentiel galiléen.

$\vec{P}=m\vec{a}$ $(1)$

projetons $(1)$ sur $Ex$

$\left. \begin{array}{c} 0=m_{a} \\ M\neq 0 \end{array} \right\} \Longrightarrow$ ax = 0 $\Longrightarrow$ mouvement rectiligne
uniforme

$x=(V_{E}$ $\cos \beta )t+x_{o}$

Or $\grave{a}$ $t=Ox=x_{o}=x_{E}=O$

$X=(V_{E}$ $\cos \beta )t$ $(1' )$

Projetons $(1)$ sur $EY$

$-P=ma_{y}$ ainsi $a_{y}=-g$ mouvement rectiligne uniformément varié suivant $(O,y)$

$y=-\frac{1}{2}gt^{2}+(V_{E}\sin \beta )t+y_{0}$

à $t=0\Longrightarrow y=y_{0}=y_{E}=0$

$y=-\frac{1}{2}gt^{2}+(V_{E}\sin \beta )t$

les eqations horaires sont:

$X=(V_{E}$ $\cos \beta )t$ $(1' )$

$y=-\frac{1}{2}gt^{2}+(V_{E}\sin \beta )t$ $(1^{' ' })$