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Corrigé 1999 : Goutte d’eau dans le champ de pesanteur

Détails: Catégorie : Mécanique

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3-1) a) Thème de L'énoncé) ou

$\Delta E_{C}=\sum W(\overrightarrow{F_{i}})$

b) vitesse $v_{0}$ de sortie de l'eau

$-\frac{1}{2}mV_{0}^{2}=W(\overrightarrow{P})-mgH$

$H=h-OA\Longrightarrow V_{0}^{2}=2g[h-OA]$

$V_{0}=\sqrt{2g(h-OA)}$

AN: $V_{0}=14m/s$

3-2) Expression de l'équation cartésienne

- Système étude : la goutte

- Système d'axes $Ox,Oy$

- Bilan des forces $\overrightarrow{P}$ : poids de la goutte

- T.C.I

$\overrightarrow{P}=\overrightarrow{ma}\Longrightarrow \overrightarrow{mg}=\overrightarrow{ma}\Longrightarrow \overrightarrow{a}=\overrightarrow{g}$

Projection

$\overrightarrow{a}\left\vert \begin{array}{c} a_{x}=0 \\ a_{y}=-g \end{array} \right.$ $\Longrightarrow$ $\overrightarrow{V}\left\vert \begin{array}{c} V_{x}=V_{0x}=V_{0}\sin \alpha \\ V_{y}=-gt+V_{0}\cos \alpha \end{array} \right.$ $\Longrightarrow$ $\left\vert \begin{array}{c} x=(V_{0}\sin \alpha )t \\ y=-\frac{1}{2}gt^{2}+V_{0}(\cos \alpha )t \end{array} \right.$

$y=-\frac{g}{2V_{0}^{2}\sin^{2} \alpha }x+s\cot g\alpha$

3-3 Diamètre minimum.

le diamètre minimum est fixé par la portée maximale $\alpha =60$ °

$D_{mm}=2X_{s}$

$\sin 60 =\frac{\sqrt{3}}{2}\Longrightarrow \sin^{2}\alpha =\frac{3}{4}$

$\cot y 60=\frac{\sqrt{3}}{3}\Longrightarrow y=0\Longrightarrow -\frac{2g}{3V_{0}^{2}}x^{2}+\frac{x\sqrt{3}}{3}+2$

$\Longrightarrow 0\Longrightarrow x^{2}-\frac{V_{0}^{2}\sqrt{3}}{2g}x-\frac{3V_{0}^{2}}{g}=0$

$d=\frac{3V_{0}^{2}}{4g^{2}}+\frac{12V_{0}^{2}}{g}=\frac{3V_{0}^{2}}{g}(\frac{V_{0}^{2}}{4g}+4)$

$d=\frac{3V_{0}^{2}}{g}(\frac{V_{0}^{2}}{4g}+4)$

AN: $d=\frac{3\times 14^{2}}{9,81}(\frac{14{{}^2}}{4\times 9,81}+4)$

$d=539,14=(23,22){{}^2}$

$x{{}^2}-17,3x-59,94=0$

$x_{1}=\frac{17,3-23,22}{2}<0$

$x_{2}=\frac{17,3+23,22}{2}=20,3$

$x_{p}=20,3m\Longrightarrow D_{mm}=40,6m$

3-4 a) temps mis par la goutte d'eau pour atteindre le bassin

$t=\frac{x_{p}}{v_{0}\sin \alpha }$

AN: $t=\frac{20,3}{14\times \frac{\sqrt{3}}{2}}=1,67s$

$t=1,67s$

b) Caractéristique de la vitesse $\overrightarrow{v}$

$\overrightarrow{v}\left\vert \begin{array}{c} v_{x}=14\times \frac{\sqrt{3}}{2}=12,1 \\ v_{y}=-9,81\times 1,67+\frac{14}{2}=-9,38 \end{array} \right.$

$\overrightarrow{v}=12,1\overrightarrow{i}-9,38\overrightarrow{j}$

norme

$v=\sqrt{12,1{{}^2}+(9,38){{}^2}}=15,3m/s$

$v=15,3m/s$

Sens : Oblique ou $K$ vers $S$

Direction : calcul de $\beta$

$t_{y}\beta ^{\prime }=\frac{v_{x}}{|v_{y}|}\Longrightarrow t_{y}\beta ^{\prime }\frac{12,1}{9,38}\Longrightarrow t_{y}\beta ^{\prime }=1,29\Longrightarrow \beta ^{\prime }=52,2{{}^\circ}$

or $180{{}^\circ}=\beta +\beta ^{\prime }\Longrightarrow \beta =180\beta ^{\prime }\Longrightarrow \beta =180{{}^\circ}-52,2=127,8{{}^\circ}$