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Corrigé 2000 : Pendule conique et ressort

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1.1. Représentation des forces et calcul des intensités.

<img240|center>

Théorème du centre d'inertie $\overrightarrow{P}+\overrightarrow{T}=m\overrightarrow{a}$

Suivant l'axe des $y$ : $-P+T\cos \theta =0\Longrightarrow$

$T=\frac{P}{\cos \theta }or$ $P=mg=1,96N\Longrightarrow T=2,26N$

1.2. Vitesse angulaire et linéaire.

Suivant l'axe des $x$ : $T\sin \theta =ma$ avec $a=a_{N}=\omega^{2}r$ ; $r=l\sin \theta$ ; $l=l_{0}+x$

$T\sin \theta =m\omega^{2}\left( l_{0}+x\right) \sin \theta \Longrightarrow T=kx=m\omega^{2}\left( l_{0}+x\right) \Longrightarrow$

$\omega =\sqrt{\frac{T}{m\left( l_{0}+x\right) }}orx=\frac{T}{k}=7,06.10^{-2}m$

AN : $\omega =6,71rad/s$

$v=r\omega \Longrightarrow v=\left( l_{0}+x\right) \sin \theta .\omega$

;AN: $v=0,84m/s$

2.

2.1. Equation de la trajectoire

Théorème du centre d'inertie: $\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{g}=m\overrightarrow{a}\Longrightarrow \overrightarrow{g}=\overrightarrow{a}\left( 0,-g\right)$

$\overrightarrow{OM_{0}}\left( 0,0\right)$

; $ax=0\Longrightarrow Vx=Vs\Longrightarrow x=Vs.t$

$x=Vs.t$

$z=-\frac{1}{2}gt^{2}+h\Longrightarrow z=-\frac{1}{2}g\frac{x^{2}}{V_{s}^{2}}+h$

$az=-g$ $\Longrightarrow V_{z}=-gt\Longrightarrow$ $z=-\frac{1}{2}gt^{2}+h$

2.2. allure de la trajectoire

<img241|center>

3.1. Impact sur le réceptacle.

Le réceptacle est défini par l'intervalle $I=[70cm,90cm]$

au $solz=0$ $\Longrightarrow$

$-\frac{1}{2}g\frac{x^{2}}{V_{s}^{2}}+h=0\Longrightarrow X_{sol^{\prime }}=\sqrt{\frac{2hV_{s}^{2}}{{}}}$

AN : $X_{sol^{\prime }}=0,66m=66cm$

conclusion = $X_{sol}\notin I\Longrightarrow$

3.2. distance au centre $M$ $d=x_{M}-x_{sol}=80-66=14cm$

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