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Corrigé 1998 : Loi de Kepler

Détails: Catégorie : Mécanique

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3.1. Caractéristique de la force gravitationnelle exercée par la planète sur le satellite.

Direction : perpendiculaire à la trajectoire

Sens : centripète

Norme $F=\frac{GMm}{r^{2}}$

3.2. Expression du vecteur champ de gravitation :

$\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{g}=-\frac{GMm}{r^{2}}\overrightarrow{i}\Longrightarrow \overrightarrow{g}=\frac{GMm}{r^{2}}\overrightarrow{i}$

3.3. Nature du mouvement du satellite :

Appliquons le théorème du centre d'inertie au satellite dans le référentiel géocentrique

$\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}=m\overrightarrow{g}\Longrightarrow \overrightarrow{a}=\overrightarrow{g}$

Dans la base de Frênet :

$\overrightarrow{a}\left\vert \begin{array}{c} a_{t}=\frac{dV}{dt}=0\left( car\text{ }\overrightarrow{a}\text{est centripete}\right) \left( 1\right) a_{n}=\frac{V^{2}}{r}\left( 2\right) \end{array} \right.$

La relation (1) montre que la vitesse est constante : le mouvement du satellite est uniforme.

$\left( 1\right) et\left( 2\right) \Longrightarrow a=a_{n}\Longrightarrow g=\frac{V^{2}}{r}\Longrightarrow r=\frac{V^{2}}{g}or$ $g=\frac{GM}{r^{2}}\Longrightarrow r=\frac{V^{2}r^{2}}{GM}\Longrightarrow r=\frac{GM}{V^{2}}=cste$

Le mouvement est alors circulaire

3.4.

3.4.a. Expression de la vitesse.

$V=\sqrt{\frac{GM}{r}}$

3.4.b. Expression de la période

$T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{V.r}=\frac{2\pi }{\sqrt[r]{\frac{GM}{r}}}\Longrightarrow T=2\pi \sqrt{\frac{r^{3}}{GM}}$

Montrons que le rapport $\frac{r^{3}}{T^{2}}$ est constant :

$T^{2}=\frac{4\pi ^{2} r^{3}}{GM}\Longrightarrow \frac{r^{3}}{T^{2}}=\frac{GM}{4\pi^{2}}$ est contant.

3.5. Masse de la planéte : $M=\frac{4\pi^{2} r^{3}}{GT^{2}}=5,78.10^{26}kg$

3.6. période du satellite $(S\prime )$ : $r\prime =r\left( \frac{T^{\prime }}{T}\right) ^{\frac{2}{3}}=5,3.10^{5}km$

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