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Corrigé 2002 : Hommage aux lions du football

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3.1. Tire sans obstacle

3.1.1. Appliquons le théorème du centre d $^{\prime }$
inertie au ballon choisi comme système dans le référentiel terrestre.

$\vec{P}=m\overrightarrow{a}\Longrightarrow \overrightarrow{g}= \overrightarrow{a}$ $\left\vert \begin{array}{c} a_{x}=0 \\ a_{y}=-g \\ a_{z}=0 \end{array} \right.$ $\Longrightarrow$ $\overrightarrow{V}$ $\left\vert \begin{array}{c} V_{x}=V_{0}\cos \alpha \\ Vy=-gt+V_{0}\sin \alpha \\ V_{z}=V_{0z}=0 \end{array} \right.$ $\Longrightarrow$ $\overrightarrow{OG}$ $\left\vert \begin{array}{c} x=V_{0}(\cos \alpha )t \\ y=-\displaystyle\frac{1}{2}gt^{2}+V_{0}(\sin \alpha )t \\ z=z_{0}=0 \end{array} \right.$

$z=0$ est l'équation du plan $(OX,OY)$ dans lequel s'effectue le mouvement du ballon.

Equation de la trajectoire du ballon :

En éliminant le paramètre temps t dans les équations horaires, on obtient :

$y=-\frac{g}{2V_{0}^{2}\cos\alpha }x^{2}+x\tan \alpha$

3.1.2. Valeurs de $V_{0}$ pour que le but soit réussi :

Le but est réussi ssi $0<y_{M}<h$ avec $x_{M}=d=25m$

$-\frac{gd^{2}}{2V_{0}^{2}\cos^{2}\alpha}+d\tan \alpha <h\Longrightarrow gd^{2} >-2V_{0}^{2}\cos^{2}\alpha (h-d\tan \alpha )$

$\Longrightarrow V_{0}<\sqrt{\frac{gd^{2}}{2\cos ^{2}\alpha (d\tan \alpha - h)}}$

$y_{M}>0\Longrightarrow -\frac{gd^{2}}{2V_{0}^{2}\cos^{2}\alpha}+d\tan \alpha \geq 0\Longrightarrow V_{0}\geq \sqrt{\frac{gd}{2\cos^{2}\alpha \tan \alpha }}$

$\sqrt{\frac{gd}{\sin 2\alpha }}\leq V_{0}<\sqrt{\frac{gd^{2}}{2\cos^{2}\alpha (d\tan \alpha -h)}}$

A.N : $\textrm{16,83 m/s} \leq V_{0} < \textrm{ 18,5 m/s}$

3.2. Tir avec obstacle

3.2.1. Montrons que le ballon passe au dessus du mur

Cherchons pour $x=d\prime$ , la valeur de Y

$Y=-\frac{g}{2V_{0}^{2}\cos^{2}\alpha }d^{\prime}^{2}+d^{\prime }\tan \alpha =6,5>h^{\prime },$

donc le ballon n'est pas arrêté

3.2.2. Durée du mouvement entre O et le but :

$\Delta t=\frac{d}{V_{0}\cos \alpha }=\frac{25}{17\ast 0,866}=1,7s$

3.2.3. Caractéristique du vecteur vitesse à l'instant où le
ballon franchit le but :

$V=\sqrt{V_{x}^{2}+V_{y}^{2}}$

$V_{x}=V_{0}\cos \alpha$

$V_{y}=-gt+V_{0}\sin \alpha$

$V=\sqrt{(V_{0}\cos \alpha)^{2}+(V_{0}\sin \alpha -gt)^{2}}=\sqrt{V_{0}^{2}+gt^{2}-2gt+V_{0}\sin \alpha }$

$t=2s\Longrightarrow V=16,84m/s$

$tan\beta =\frac{V_{y}}{V_{x}}=\frac{-8,16}{14,72}=-0,5543\Longrightarrow \beta =-30$ degré

Quand le ballon franchit le but, le vecteur vitesse fait un angle de -- 30° avec l $^{\prime }$ horizontale.

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