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Corrigé 2006 : Ions Mg2+ dans un champ électrique

Détails: Catégorie : Mécanique

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5.1.1. Plaque ayant le potentiel le plus élevé:

Les ions $Mg^{2+}$ étant chargés positivement, la plaque P $_{2}$ doit être chargée négativement, pour attirer les ions et la plaque $P_{1}$ positivement pour repousser ces mêmes ions.

Conclusion : $P_{1}$ doit être portée au potentiel le plus élevé

5.1.2. Valeur $V_{0}$ de la vitesse des ions en $P_{2}$

En appliquation du théorême de l'énergie cinétique à un ion sur lequel agit la seule force électrique on peut écrire :

$\frac{1}{2}mV_{0}^{2}=W(\overrightarrow{F_{e}})=qU_{0}\Longrightarrow V_{0}=\sqrt{\frac{2qU_{0}}{m}}$

5.1.3. Calcul de la valeur de $V_{0}$

$V_{0}=\sqrt{\frac{2\times 2\times 1,6.1O^{-19}\times 4000}{24\times 1,67.10^{-27}}}\Longrightarrow V_{0}=2,5\times 10^{5} m/s$ .

5.2.1. Caractéristiques de la force électrique agissant sur un ion dans le condensateur.

Vectoriellement la force électrique a pour expression en foction du champ électrique régnant dans le condensateur :

$\overrightarrow{F}_{e} = q\overrightarrow{E}$ or $q > 0$ $\Longrightarrow$ $\overrightarrow{F}_{e}$ et $\overrightarrow{E}$ ont la même direction et le même sens : la verticale ascendante car $U_{PQ} >0$ , le champ est dirigé de la
plaque P vers la plaque Q.

L'intensité de la force électriques s'écrit : $F = q \times E$

or $E = \frac{U}{d}\Longrightarrow F=q\times \frac{U}{d}$

5.2.2. Nature de la trajectoire d'un ion $Mg^{2+}$ à l'intérieur du condensateur.

En appliquant le théorême du centre d'inertie à un ion isolé dans le repère de laboratoire $( O' ,\overrightarrow{i} ,\overrightarrow{j} )$ , O' étant le point d'entrée de l'ion dans le condensateur, $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{j}$ étant respectivement parallèle et perpendiculaire aux plaques, on a :

$\sum \overrightarrow{F}_=m\overrightarrow{a}$ , m est la masse de l'ion et puisqu'on néglige le poids de l'ion devant la force électrique $\sum \overrightarrow{F}_{ext}=\overrightarrow{F}_{e}$

Ainsi, $\overrightarrow{F}_{e}=m\overrightarrow{a}$ or $\overrightarrow{F}_{e}=q\overrightarrow{E}$ $\Longrightarrow q\overrightarrow{E}=m\overrightarrow{a}$ $\Longrightarrow \overrightarrow{a} =}\frac{q}{m}\times \overrightarrow{E}$

Les cordonnées de $\overrightarrow{a}$ dans le reprère $( O' , \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} )$ sont : $\overrightarrow{a}$
$\left( \begin{array}{c} a_{x}=\displaystyle\frac{q}{m}\mathbf{\times }E_{x} ; a_{y}=\displaystyle\frac{q}{m}\mathbf{\times }E_{y} \end{array} \right)$ or $E_{x}$ = 0 et $E_{y}=E$ donc $\overrightarrow{a}$

$\left( \begin{array}{c} a_{x}=0 \\ a_{y}=\displaystyle\frac{q}{m}\times E \end{array} \right)$

$a_{y}=\frac{q}{m}\times E\Longrightarrow V_{y}=\frac{q}{m}\times E\times t+cte$

or à t = 0 $V_{y}=V_{0y}=0\Longrightarrow cte=0$ et $V_{y}=\frac{q}{m} \times E\times t$

$a_{x}=0\Longrightarrow V_{x}=cste=V_{0x}=V_{0}\Longrightarrow V_{x}=V_{0}$

Les coordonnées du vecteur vitesse dans le condensateur sont à l'instant t $\overrightarrow{V}\left( \begin{array}{c} V_{x}=V_{0} V_{y}=\frac{q}{m}\times E\times t \end{array} \right)$

$V_{x}=V_{0}\Longrightarrow x=V_{0}\times t+x_{0}$ or à $t=0$ on a $x=x_{0} = 0 \Longrightarrow x=V_{0}\times t$

$V_{y}=\frac{q}{m}\times E\times t\Longrightarrow y=\frac{1}{2}\frac{q}{m}\times E\times t^{2}+y_{0}$ or à $t=0$ on a $y=y_{0}=0\Longrightarrow y=\frac{1}{2}\frac{q}{m}\times E\times t^{2}$

Les coordonnées du centre d'inertie de l'ion dans le condensateur à l'instant t sont : $G\left( x=V_{0}\times t$ , $y=\frac{1}{2}\frac{q}{m}\times E\times t^{2}\right)$

Par élimination du temps t dans les coordonnées da G on a $y=\frac{qE}{2mV_{0}^{2}}x^{2}$

Cette équation est celle d'une parabole. La trajectoire de l'ion est une {branche de parabole} dans le condensateur

5.2.3. Distance verticale OM sur l'écran.

Les triangles COM et CAS sont en position de Thales.

C est le centre du condensateur, S est le point de sortie de l'ion du condensateur et A le projeté de S sur l'axe O'O

$\frac{OM}{D}=\frac{AS}{\frac{l}{2}}\Longrightarrow \frac{Z}{D}=\frac{2Y_{S}}{l}\Longrightarrow Z=\frac{2\times D\ \times Y_{S}}{l}$

avec $Y_{S}=Y(x=l)=\frac{qE}{2mV_{0}^{2}}l^{2}$

$Z=\frac{D\times q\times E\times l}{m\times V_{0}^{2}}$ ou $Z=\frac{D \times q\times U\times l}{m\times d\times V_{0}^{2}}$

$V_{0}^{2}=\frac{2qU_{0}}{m}\Longrightarrow Z=\frac{DUl}{2U_{0}d}$ ; Z est indépendant des caractéristiques de l'ion $Mg^{2+}$

5.2.4. Durée de traversée du condensateur

De l'équation horaire $x=V_{0}\times t$ si x=l on a $t=t_{S}\Longrightarrow t_{S}=\frac{l}{V_{0}}\Longrightarrow t_{S}=0,4.10^{-6}s$

5.2.5. Longueur du segment dans le cas d'une tension sinusoïdale : $u(t)= U_{max}sin \omega t$

Si $u(t) = +U_{max}\Longrightarrow Z_{\max }=\frac{DU\max l}{2U_{0}d}$

Si $u(t) = -U_{max}\Longrightarrow Z_{\min }=\frac{-DU\min l}{2U_{0}d}$

Si $-U_{max} < u(t) < +U_{\min }$ on a un point d'impact sur l'écran dont l'ordonnée est comprise entre $\frac{-DU\max l}{2U_{0}d}$ et $\frac{DU\max l}{2U_{0}d}$

La longueur du segment $L= Z_{max}-Z_{min}=\frac{DU_{max} l}{U_{0}d}\textrm{soit L = 5,75 cm }$

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