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2005 : mouvement d'une bille dans du glycérol

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On étudie le mouvement d'une bille B en verre de rayon r, de masse m, tombant sans vitesse initiale dans du glycérol. Sur la bille B en mouvement s'exercent son poids $\overrightarrow{P}$ ou force de pesanteur, la force de résistance du fluide $\overrightarrow{f}$ et la poussée d'Archimède $\overrightarrow{F}$ due également au fluide :

- la résistance $\overrightarrow{f}$ est une force colinéaire et de sens opposé au vecteur vitesse instantanée de la bille, et de valeur $f=6\pi \eta rV$ ; relation où V représente la valeur de la vitesse instantanée de la bille, r son rayon et ? une constante caractéristique du fluide (viscosité),

- la poussée d'Archimède $\overrightarrow{F}$ est une force verticale dirigée de bas en haut dont l'intensité est égale au poids du fluide déplacé par la bille; soit $F=\rho gV_{0l}$

On donne :

a. accélération de la pesanteur : $g = 9,8 m.s^{-2}$ ;

b. masse volumique du verre $\rho_{ver} = 2,45 g.cm^{-3}$ ;

c. masse volumique du glycérol $\rho = 1,26 g.cm^{-3}$ ;

d. viscosité du glycérol $\eta = l,49 Pa.s$

d. volume d'une sphère de rayon r : $V_{0l}=\frac{4\pi r^{3}}{3}$

4.1. Représenter sur un schéma les forces appliquées à la bille à un instant où sa vitesse est $\overrightarrow{V}$ . (0,25 point)

4.2. Montrer, par application de la deuxième loi de Newton dans un repère que l'on précisera, que l'équation différentielle du mouvement de la bille s'écrit :

$\frac{dV}{dt}+\left( \frac{6\pi \eta r}{m}\right) V=g\left( 1-\frac{\rho }{\rho _{ver}}\right)$ (01 point)

4.3. Montrer l'existence d'une vitesse limite. Préciser son expression en fonction de $\eta$ , $r$ , $\rho$ , $\rho _{ver}$ , $g$ et $m$ puis en fonction de $\eta$ , $r$ , $\rho$ , $\rho _{ver}$ et $g$ . (0,75 point)

4.4. Le graphique de la figure ci - dessous représente l'évolution au cours du temps de la vitesse de la bille B abandonnée sans vitesse initiale dans le glycérol.

a. A partir du graphique, déterminer la valeur de la vitesse limite de la bille B. En déduire le rayon de la bille et sa masse (0,75 point)

b. Calculer la vitesse limite qu'atteindrait une bille en verre C de rayon 2r abandonnée sans vitesse initiale dans le glycérol (0,5 point)

c. Au bout de combien de temps peut-on estimer que la bille B a atteint sa vitesse limite ? (0,25point)

5. Quelle serait la loi de variation de la vitesse de la bille B lâchée sans vitesse initiale dans le vide ? Recopier la figure 3 et ébaucher la courbe traduisant la variation de cette vitesse en fonction du temps. (01 point)

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