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Corrigé 2004 : détermination de la masse d’un astre

Détails: Catégorie : Mécanique

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3.1.1 :

3.1.2 :

Système matériel : Terre

Référentiel : héliocentrique

Bilan des forces : $\overrightarrow{F} = m \overrightarrow{G}_{1}$ (1)

Théorème du centre d’inertie : $\overrightarrow{F} = m \overrightarrow{a}$ (2)

Repère de Frenet

En combinant (1) et (2) on obtient :

$m \overrightarrow{G}_{1} = m \overrightarrow{a}$ $\longrightarrow m G_{1}\overrightarrow{u}_{n} = m (a_{n} \overrightarrow {u}_{n} + a_{t} \overrightarrow {u}_{t})$

Donc $a_{t} = 0$ $\longrightarrow \frac{dv}{dt} = 0$ $\longrightarrow$ v est constante

Le mouvement du centre d’inertie de la Terre est uniforme.

3.1.3 :

$m G_{1}\overrightarrow{u}_{n} = m a_{n} \overrightarrow {u}_{n} \rightarrow G_{1} = a_{n} \rightarrow G\frac{M_{S}}{r^{2}}= \frac{v^{2}}{r} \rightarrow v = \sqrt{\frac{M_{S}G}{r}}$

On sait que $T=\frac{2\pi r}{v} \rightarrow 2\pi r \times \sqrt{\frac{r}{M_{S}G}}$

Soit $T= 2\pi \times \sqrt{\frac{r^{3}}{M_{S}G}}$

3.1.4 :

$T^{2}= 4\pi^{2}\frac{r^{3}}{M_{S}G} \rightarrow \frac{T^{2}}{ r^{3}}= \frac{4\pi^{2}}{M_{S}G} = constante$

Donc la troisième loi de Képler est bien vérifiée.

$M_{S}= \frac{4\pi^{2} r^{3}}{ T^{2} G} = \frac{4\pi^{2} (1,5.10^{11})^{3}}{ (365,25 \times 24 \times 3600)^{2} \times 6,67.10^{-11}} = 2.10^{30} kg$

3.2:

$4 _{1}^{1}H \rightarrow ^{4}_{2}He + 2 ^{0}_{1}e + 2 ^{0}_{0}\gamma$

3.2.1:

L’énergie libérée par cette réaction globale est :

$\Delta E = \Delta mc^{2}$

Avec $\left\vert \Delta m \right\vert = [4m_{H}-(m_{He} + 2m_{e})]$

Soit $\Delta E = [4m_{H}-(m_{He} + 2m_{e})] c^{2}$

Application numérique :

$\Delta E = [4\times 1,0073-(4,0015+2\times 0,00055)]\times 931,5=24,8 MeV = 3,968.10^{-12}J$

3.2.2 :

$E=P\times t=n\times t\times \Delta E\rightarrow n=\frac{P}{\Delta E} =9,83.10^{37}$ réactions par seconde