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2004 : détermination de la masse d’un astre

Détails: Catégorie : Exercices du BAC

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L’un des grands succès de la théorie de la gravitation universelle d’Isaac Newton est de pouvoir déterminer la masse d’un astre à partir d’observations astronomiques du mouvement de l’un de ses satellites.

On se propose de déterminer la masse du Soleil à partir de l’observation du mouvement de l’un de ses satellites le plus connu : la Terre.

On supposera que le Soleil et la Terre ont une distribution de masse à symétrie sphérique.

On admettra également que le centre de la Terre décrit autour du Soleil une orbite circulaire de rayon r avec une période T.

3.1.1 : Représenter sur un schéma la force gravitationnelle exercée par le Soleil sur la Terre. (0,25 point)

3.1.2 : En tenant compte des hypothèses ci-dessus montrer que le mouvement du centre d’inertie de la Terre est uniforme. (0,5 point)

3.1.3 : Exprimer la vitesse v du centre d’inertie de la Terre en fonction de la constante de gravitation universelle G, du rayon r de l’orbite et de la masse $M_{S}$ du Soleil.

En déduire l’expression de la période de révolution de la Terre en fonction de G, r et $M_{S}$ . (1 point)

3.1.4 : Montrer que la $3^{i\'eme}$ Loi de Képler est bien vérifiée et en déduire la masse $M_{S$ du Soleil. (0,75 point)

On donne :

$r = 1,50.10^{8} km$ ; T = 365,25 jours $G = 6,67.10^{-11} N.m^{2}.kg^{-2}$ .

3.2 : Dans notre univers le Soleil joue le rôle d’un énorme radiateur qui rayonne de l’énergie dans toutes les directions en particulier sur la Terre, ce qui a permis le développement de la vie.

Cette énergie rayonnée par le Soleil trouve son origine dans les réactions de fusion nucléaire dont le Soleil est le siège

L’équation bilan de ces réactions s’écrit : $4_{1}^{1}H\longrightarrow _{2}^{4}He+2_{0}^{1}e+2_{0}^{0}\nu$

3.2.1 : Calculer l’énergie libérée par cette réaction globale. (0,5 point)

3.2.2 : Si le Soleil rayonne une puissance constante de $3,9.10^{26} W$ , quel est le nombre de réactions globales qui s’y produit par seconde ? Quelle est la perte de masse que subit le Soleil par seconde ? (01 point)

On donne :

$1 u = 1,67.10^{-27} kg = 931,5 MeV.c^{-2}$ ;

célérité de la lumière dans le vide $c = 3.10^{8} m/s^{-1}$ .