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Corrigé 2007 :Etude du mouvement du satellite du détection de Spot

Détails: Catégorie : Mécanique

3.1. Nature du mouvement du satellite

Système : Satellite
Référentiel : géocentrique supposé galiléen
Bilan des forces : Force gravitationnel $\vec F$

Théorème du centre d’inertie : $\sum\vec {F_{ext}}=\vec F=m \vec{a_{G}} ;$

$\vec F=\frac{GmM_{T}}{r^{2}}\vec{n}=m\vec{a_{G}} ; \vec{a_{G}}=\frac{GM_{T}}{r^{2}}\vec{n} \vec{a_{G}}=\vec{a_{n}}+\vec{a_{t}}=\vec{a_{n}} ; \vec{a_{t}}=\vec{0}$

L’accélération est centripète : le mouvement est circulaire et uniforme

Expression de la vitesse :

Avec $a_{n}=\frac{GM_{T}}{r^{2}}=\frac{V^{2}}{r}$ on a, $V^{2}=\frac{G M_{T}}{r}$ d'où $V=\sqrt{\frac{G M_{T}}{r}}. V=\sqrt{\frac{G M_{T}}{R_{T}+h}}$

Application numérique : $V=\sqrt{\frac{6,67.10^{-11}\times 5,97.10^{24}}{(6370+832).10^{3}}}}=7436 m/s$

3.2. Expression de la période de révolution $T_{S}$ du satellite:
Pour un tour complet, $2\pi r=V\times T_{s}$ donc $T_{s}=\frac{2\pi r}{V} ; T_{s}^{2}=\frac{4\pi^{2} r^{2}}{V^{2}}=\frac{4\pi^{2} r^{3}}{GM_{T}}$ d'où $T_{s}=2\pi\sqrt{\frac{r^{3}}{GM_{T}}}}$

$T_{s}=2\pi\sqrt{\frac{(R_{T}+h)^{3}}{GM_{T}}}$

3.3. L’angle de rotation de la Terre pendant une révolution du satellite

Une révolution du satellite s’effectue en un temps $T_{S}.$
Durant cette révolution, la terre tourne de $\theta=\omega_{T}T_{S},\omega_{T}=\frac{2\pi}{T_{T}}$ étant la vitesse angulaire de rotation de la terre autour d’elle-même et ${T_{T}}$ la période de révolution de la terre.
$\theta=2\pi\frac{T_{s}}{T_{T}}=2\pi$

Application numérique :

$T_{s}=2\pi\sqrt{\frac{[(6370+832).10^{3}]^{3}}{6,67.10^{-11}\times 5,97.10^{24}}}}=6082 s ;T_{T}=24h=86400 s ; \theta=2\times 3,14\times \frac{6082}{86400}=0,44 rad$

$\theta=0,44 rad=25,22°$

Un satellite à défilement est un satellite dont la trace au sol se décale en longitude au fil des révolutions. Ce qui lui permet de couvrir la totalité du globe compte tenu de la rotation de la Terre

3.4. Expression de l’énergie potentielle de gravitation du satellite :
$E_{p}=-\frac{G m M_{T}}{r}$ avec $r=R_{T}+h$

3.4.1. Référence de l’énergie potentielle de gravitation :
A la position de référence l’énergie potentielle est nulle. Ep = 0 lorsque r tend vers l’infini.

3.4.2. Expression de l’énergie mécanique du satellite:
$E_{m}=E_{C}+E_{P}=E_{P}=\frac{1}{2}mV^{2}-\frac{G m M_{T}}{r}=\frac{1}{2} m \frac{G M_{T}}{r}=-\frac{G m M_{T}}{r}=E_{P}=-\frac{G m M_{T}}{r}$
$E_{m}=-\frac{ m G M_{T}}{2(R_{T}+h)}}=-\frac{1}{2} mV^{2}$

Application numérique:
$E_{m}=- \frac{ 650\times 6,67.10^{-11} \times 5,97.10^{24}}{2 (6370+832).10^{3}} =-1,8.10^{10} J$

3.5

3.5.1. Variation de l’énergie mécanique
$E_{m}=-\frac{1}{2}mV^{2}=-E_{C}\Longrightarrow\Delta E_{m}=-\Delta E_{C}$ : Une variation de l’énergie mécanique entraine celle de l’énergie cinétique d’où celle de la vitesse.
$E_{m}=- \frac{m GM_{T}}{2(R_{T}+h)}=\frac{E_P}{2}\Longrightarrow\Delta E_{m}=\frac{\Delta E_{p}}{2}$ : Une variation de l’énergie mécanique entraine celle de l’énergie potentielle d’où celle de l’altitude h.

3.5.1. Expression de $\Delta v$ et $\Delta h$

$E_{m}=-\frac{m GM_{T}}{2r}\Longrightarrow dE_{m}=\frac{mG M_{T}}{2r^{2}}dr;\Delta E_{m}=\frac{m GM_{T}}{2r^{2}}\Delta r\Longrightarrow$ avec $\Delta{r}=\Delta{h}$ ;