terminales.examen.sn

Vous êtes ici : Accueil

Corrigé 2007 : Equivalence entre un oscillateur électrique et un oscillateur mécanique

Détails: Catégorie : Oscillations électriques

Première partie

4.1.

4.1.1. Equation différentielle traduisant les oscillations électriques

D’après la loi des mailles : $U_{C} + U_{L} = 0$ avec $u_{C}=\frac{q}{C}$ tension aux bornes du condensateur et
$u_{L}=L \frac{di}{dt}=L\frac{d}{dt}\left(\frac{dq}{dt}\right)=L\frac{d^{2}q}{dt^{2}}$ tension aux bornes de la bobine

$\frac{q}{C}+ L\frac{d^{2}q}{dt^{2}}= 0\Longrightarrow\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+ \frac{q}{LC}= 0$

Equation différentielle $\ddot{q}+\frac{1}{LC} q=0$

4.1.2. Période des oscillations :
L’équation différentielle est celle d’un oscillateur de pulsation propre ω telle que $\Omega^{2}=\frac{1}{LC}$ donc $\omega=\sqrt{\frac {1}{LC}}$ et de période : $T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{LC}$
Application numérique : $T=2\pi\sqrt{0,10\times 1,0.10^{-5}}=2\pi.10^{-3}s=6,28.10^{-3}$

4.2.

4.2.1. Equation différentielle du mouvement du solide
On déplace le solide A de façon à provoquer l’allongement du ressort et on l’abandonne sans vitesse initiale.

Système : Solide
Référentiel : terrestre supposé galiléen
Bilan des forces : $\vec{p}$ poids du solide (en rouge) ; $\vec{R}$ réaction du plan (en vert) et $\vec{T}$ tension du ressort (en bleu)

Théorème du centre d’inertie : $\vec{P}+\vec{R}+\vec{T}=m\vec{a}$

Composantes des vecteurs

$\vec{P}\left(P_{X}=0 \\P_{y}=P\right)$ ; $\vec{R}\left(R_{X}=0 \\R_{y}=-R \right)$ ; $\vec{T}\left(T_{X}=-T \\T_{y}=0 \right)$ ; $\vec{a}\left(a_{X}=\ddot{x} \\a_{y}=&0 \right)$

En projetant suivant XX’, on obtient :

$-T=m\ddot{X}$ , $-KX= m\ddot{X}\Longrightarrow m\ddot{X}+KX=0$

Equation différentielle :

$\ddot{X}+\frac{k}{m}X=0$

4.2.2. Période des oscillations
L’équation différentielle est celle d’un oscillateur de pulsation propre telle que $\Omega^{2}=\frac{k}{m}$ donc $\Omega=\squrt{\frac {k}{m}}$ et de période : $T=\frac{2\pi}{Omega}=2\pi\squrt{\frac{m}{k}}$

Application numérique : $T=\frac{2\pi}{Omega}=2\pi\squrt{\frac{0,5}{25}}=0,89 s$

4.3. Tableau complet

Deuxième partie

4.4. Montrons que l’impédance de la bobine et celle du résistor sont égales
$U_{1}=Z_{1}$ et $U_{2}=Z_{2}I$ étant donné que $U_{1}=U_{2}$ alors $Z_{1}I=Z_{2}I$ donc $Z_{1}=Z_{2}$

L’impédance du résistor est telle que $Z_{2}=R_{2}=12,5\Oméga$

4.5. Diagramme de Fresnel relatif au circuit
Soient $u, u_{1}$ et $U_{2}$ les tensions instantanées respectives aux bornes du générateur, de la bobine et du résistor

$u_{2}=R_{1}i=R_{2}I\sqrt{2} sin(\omega t)$ et

$u_{1}=R_{1}i+L\frac{di}{dt}=R_{1}I\squrt{2} sin(\omega t)+L\omega I\squrt{2} cos(\omega t)=R_{1}I\squrt{2} sin(\omega t)+L\omega I\squrt{2} sin(\omega t+\frac{pi}{2}$

$u=u_{2}+u_{1}=R_{2}I\squrt{2} sin(\omega t)+=R_{1}I\sqrt{2} sin(\omega t)+L\omega I\sqrt{2} sin(\omega t+\frac{pi}{2}$

$u=(R_{1}+R_{2})I\sqrt{2} sin(\omega t)+L\omega I\sqrt{2} sin(\omega t+\frac{pi}{2}=u\sqrt{2} sin(\omega{t}+\varphi)$ est la somme de deux fonctions sinusoîdales

4.6 Valeurs numériques
L’impédance $Z_{1}$ de la bobine $Z_{1}^{2}=R_{1}^{2}+(L\omega)^{2}$ (1)
D’après le diagramme de Fresnel : $(U\sqrt{2}^{2}=(L\omega)I\sqrt{2}^{2}+[(R_{1}+R_{2})I\sqrt{2}]^{2}$

$(\frac{U}{I})^{2}=(L\omega)^{2}+(R_{1}+R_{2})^{2}$ (2)

$\left\{ \begin{array}{c}R_{1}^{2}+(L\omega)^{2}=Z_{1}^{2}=(12,5)^{2}=156,25 \\ (L\omega)^{2}+(R_{1}+R_{2})^{2}=(\frac{u}{I})^{2}=(\frac{64}{3,2})^{2}=400\end{array} \right.$

$\left\{\begin{array}{c}R_{1}^{2}+(L\omega)^{2}=156,25 (1)\\ (R_{1}+12,5)^{2}+(L\omega)^{2}=400 (2)\end{array}\right.$

(2)-(1) donne $(R_{1}+12,5)^{2})-R_{1}^{2}=400 - 156,25=243,75$

$R_{1}^{2}+25_{1}+156,25-R_{1}^{2}=400-156,25=243,75\Longrightarrow 25R_{1}+156,25=243,75\Longrightarrow R_{1}=3,5\Omega$

D'après (1) : $L\omega=\sqrt{Z_{1}^{2}-R_{1}^{2}}=\sqrt{(12,5)^{2}-(3,5)^{2}}\Longrightarrow L\omega=12\Omega$

D'après le diagramme de Fresnel $tan\varphi=\frac{L\omega}{R_{1}+R_{2}}=\frac{12}{3,5+12,5}\Longrightarrow \varphi=36,87°=0,64 rad$

Valeur de la fréquence N

$\omega=2\pi N\Longrightarrow N=\frac{2\pi}{\omega}$ avec $L\omega=12$ on a $N=\frac{2\pi L}{12}=\frac{2\pi\times 36.10^{-3}}{12}=6\pi. 10^{-3}\Longrightarrow N=18,84.10^{-3}$ Hz

EXAMEN.SN V2.0 © RESAFAD SENEGAL Creative Commons License - Avenue Bourguiba x rue 14 Castors, Dakar (Sénégal) - Tél/Fax : +221 33864 62 33