Les résultats de la partie A seront utiles dans la partie B.
PARTIE A
1) Montrer que (0,5 pt)
2) Soit k :
k est-elle continue sur ? Justifier la réponse. (0,5 pt)
Soit K :
Vérifier que K est une primitive de k, dans . (0,25 pt)
PARTIE B
Le plan est rapporté à un repère orthonormé (unité graphique 2 cm).
Soit la fonction f définie par
Déterminer , le domaine de définition de f. Puis calculer les limites de f aux bornes de . (0,75 pt)
1) Etudier la continuité de f en 0. (0,5 pt)
2) Etudier la dérivabilité de f en 0. Interpréter géométriquement les résultats. (0,1 pt)
3) Donner les domaines de continuité et de dérivabilité de f. (02x 0,25 pt)
4) Calculer la dérivée de f sur son domaine d’existence et étudier son signe. (01 pt)
5) Dresser le tableau de variations de f. (0,5 pt)
6) Montrer que la droite (∆) d’équation : est une asymptote de la courbe. de f dans quand x tend vers . (0,25 pt)
7) Préciser la nature de la branche infinie de . quand x tend vers +∞. (0,25 pt)
8) Représenter graphiquement la courbe . dans le repère .
Préciser l’allure de la courbe au point d’abscisse 0 et tracer (∆). (02 pts)
9) Soit h la restriction de f à
a) Montrer que h réalise une bijection de sur un intervalle J à préciser. (0,5 pt)
b) Représenter graphiquement (Ch-1), la courbe représentative de dans , à l’aide de (Cf). (0,5 pt)
10) Soit . l’aire du domaine du plan délimité par , la courbe . et la droite . d’équation : y = x.
a) Calculer (0,5 pt)
b) En déduire l’aire . du domaine du plan délimité par les droites d’équations respectives : , la droite et la courbe .(0,5 pt)
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