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2013 : Probléme

Détails: Catégorie : Synthèse

Les résultats de la partie A seront utiles dans la partie B.

PARTIE A

1) Montrer que $\lim\limits_{x \to 0}\frac{e^x-x-1}{x}=0$ (0,5 pt)

2) Soit k :

$]0 ;+\infty[ \longrightarrow \mathbb{R}$

$x \longmapsto x(1-lnx)$

k est-elle continue sur $]0 ;+\infty[$ ? Justifier la réponse. (0,5 pt)

Soit K : $]0 ;+\infty[ \longrightarrow \mathbb{R}$

$x \longmapsto \frac{3}{4}x^2-\frac{1}{2}x^2lnx$

Vérifier que K est une primitive de k, dans $]0 ;+\infty[$ . (0,25 pt)

PARTIE B

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ (unité graphique 2 cm).

Soit la fonction f définie par $f(x)=\left\{\begin{array}{l}e^x-x-1 \quad si \quad x \leq 0\\ xlnx \quad si \quad x > 0 \end{array}\right.$

Déterminer $D_f$ , le domaine de définition de f. Puis calculer les limites de f aux bornes de $.D_f$ . (0,75 pt)

1) Etudier la continuité de f en 0. (0,5 pt)

2) Etudier la dérivabilité de f en 0. Interpréter géométriquement les résultats. (0,1 pt)

3) Donner les domaines de continuité et de dérivabilité de f. (02x 0,25 pt)

4) Calculer la dérivée de f sur son domaine d’existence et étudier son signe. (01 pt)

5) Dresser le tableau de variations de f. (0,5 pt)

6) Montrer que la droite (∆) d’équation : $y = -x-1$ est une asymptote de la courbe $.C_f$ . de f dans $(O,\vec{i},\vec{j})$ quand x tend vers $-\infty$ . (0,25 pt)

7) Préciser la nature de la branche infinie de $.(C_f )$ . quand x tend vers +∞. (0,25 pt)

8) Représenter graphiquement la courbe $.(C_f )$ . dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ .

Préciser l’allure de la courbe au point d’abscisse 0 et tracer (∆). (02 pts)

9) Soit h la restriction de f à $[\frac{1}{e} ;+\infty[$

a) Montrer que h réalise une bijection de $[\frac{1}{e} ; +\infty[$ sur un intervalle J à préciser. (0,5 pt)

b) Représenter graphiquement (Ch-1), la courbe représentative de $h^{-1}$ dans $(O,\vec{i},\vec{j})$ , à l’aide de (Cf) $.(C_f )$ . (0,5 pt)

10) Soit $A_1$ . l’aire du domaine du plan délimité par $x=\frac{1}{e},x=e$ , la courbe $.(C_f )$ . et la droite $.(D)$ . d’équation : y = x.

a) Calculer $A_1$ (0,5 pt)

b) En déduire l’aire $A_2$ . du domaine du plan délimité par les droites d’équations respectives : $x=\frac{1}{e},y=\frac{1}{e}$ , la droite $(D)$ et la courbe $(C_{h-1})$ .(0,5 pt)

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