2013 : Nombres compléxes et suites numériques

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1999 : statistique à deux variables(4 pts)

Terminale S2

2013 : Nombres compléxes et suites numériques

Détails: Catégorie : Suites numériques

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct $\left( O,\vec{e_1},\vec{e_2}\right)$ .
S est la similitude plane directe de centre O, d’angle $\frac{\pi}{2}$ et de rapport $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
Soit M le point d’affixe z et M’ le point d’affixe z’ avec M’ = S (M).

1) Exprimez z’ en fonction de z. (0,5 pt)

2) On définit la suite des points $(M_n)_{n \in N}$ de la façon suivante :

$\left\{\begin{array}{l}M_0 \quad d’affixe \quad z_0=1+i \\ M_n=S(M_{n-1}) \quad pour \quad n \geq 1 \end{array} \right.$

$z_n$ est l’affixe de $M_n$ , pour tout entier naturel n.

a. Déterminer les affixes des points $M_1,M_2 \quad et \quad M_3$ .(01,5 pt)

b. Exprimer $z_n$ en fonction de $z_{n-1}$ pour $n \geq 1$ . (0,5 pt)

c. En déduire que $\left( i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^n z_0$ . (01 pt)

d. Soit $a_n=|z_n|$ , montrer que $a_n$ est le terme général d’une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. (01 pt)

e. Etudier la convergence de la suite $(a_n)$ , $n \in\mathbb{N}$ . (0,5 pt)

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