corrigé epreuve 2011 : Probabilités et suite numériques

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Probabilités

corrigé epreuve 2011 : Probabilités et suite numériques

Détails: Catégorie : Probabilités

I. • Dans le cas de l’équiprobabilité, on sait d’après le cours que la probabilité d’un événement quelconque A est calculée par la formule : $p(A)=\frac{card(A)}{card(\Omega)}$ .

• La probabilité de l’événement A sachant que l’événement B est réalisé, est si p(B) ≠0 :

$p(A/B)=\frac{p(A \cap B)}{p(B)}=\frac{card(A \cap B)}{card(B)}$ (après simplification par $card(\Omega$ .

• Qu’il y ait ou non équiprobabilité, une propriété de base des probabilités sur un ensemble fini dit que :

$p(A \cap \bar{B})=p[A/(A \cap B)]=p(A)-p(A \cap B)$ (car $(A \cap B)$ est toujours inclus dans A).

$p[(A \cap \bar B) \cup (A \cap B)] = p[A \cap(B \cup \bar B)]$ (distributivité de $\cap$ par rapport à $\cup)$

$= p(A\cap \oméga)$ (pour tout ensemble B , on a : B $\cup \bar B = \omega) \omega$

p(A) (pour tout ensemble A , on a $A \cap \omega = A$

II. 1°) Ces égalités sont des traductions des trois hypothèses faites par l’énoncé.

- On sait que le premier jour, la ville est délestée, donc l’événement D1 : « La ville est délestée le $1^{er}$ jour » est l’événement certain : $p(D_1) = 1$

- Si la ville est délestée le $n^{i\grave{e}me}$ jour, c’est-à-dire si $D_1$ est réalisé, alors l’hypothèse est que la probabilité qu’elle le soit le jour suivant (n + 1), est $\frac{2}{9}$ 2/9. Donc
$P(D_n+1/D_n) =\frac{2}{9}$

- Si la ville n’est pas délestée le $n^{i\grave{e}me}$ jour, c’est-à-dire si $\bar D_n$ est réalisé, alors l’hypothèse est que la probabilité qu’elle le soit le jour suivant (n + 1), est $\frac{5}{6}$ .

Donc $p(D_{n+1}\bar{D}_n) = \frac{5}{6}$

2°) D’après la quatrième propriété rappelée dans la partie I,

$p_n+1 = p(D_n+1) = p(D_n+1 \cap D_n) + p(D_n+1 \cap \bar D_n)$

On a remplacé dans cette propriété A par $D_{n+1}$ et B par $D_n$ .

3°) Par définition de la probabilité conditionnelle,

$p(D_n+1 \cap D_n) = p(D_n+1 /D_n) p(D_n) = \frac {2}{9} p(D_n)$

Et : $p(D_{n+1}\cap\bar{D}_n = p(D_n+1/\bar{D}_n) p(\bar{D}_n) = \frac {5}{6} p(\bar{D}_n)$

D’où, en remplaçant dans (*),

$p(D_{n+1}) = \frac {2}{9} p(D_n) +\frac {5}{6} p(\bar{D}_n) =\frac {2}{9} p(D_n) + \frac {5}{6} p[1 – p(D_n)]$

Soit : $p(D_n+1) = \left(\frac {2}{9} - \frac {5}{6}\right) + \frac {5}{6} p(D_n) = \frac {12 - 45}{54}p(D_n) + \frac {5}{6} = -\frac {33}{54}p(D_n) + \frac {5}{6} = -\frac {11}{18}p_{n} + \frac {5}{6}$

4°) a) $U_{n+1} = 6p_{n +1} - \frac {90}{29} = 6(-\frac {11}{18}p_{n}) +\frac {5}{6} = -\frac{90}{26}$ (d’après la question précédente)

$-\frac{66}{18}p_{n} + \frac{30}{6} -\frac{90}{26} = -\frac{66}{18}p_n + \frac{30\times 29-90\times 6}{29\times 6} = -\frac{66}{18}p_{n} + \frac{330}{174}$

$\frac{11}{18}\left(6p_{n} \frac{330}{174} \frac{18}{11}\right) \frac{11}{18}\left(6p_{n}\frac{30}{29} \frac{3}{1}\right)$ (simplification de fractions)

$-\frac{11}{18}\left(6p_{n} \frac{90}{29}\right) = -\frac{11}{18}U_{n}$

Il en résulte que (Un) est une suite géométrique de raison $-\frac{11}{18}$ et de premier terme

$U_1 = 6p_1 - \frac{90}{29} = 6 -\frac{90}{29} = \frac{174 - 90}{29} = \frac{84}{29}$ .

b) D’après une formule du cours sur les suites géométriques,

$U_{n} = U_{1} \times \left(-\frac{11}{18}\right)^{n-1} = \frac{84}{29} \times -\frac{11}{18}^{(n-1)}$

Et comme $p_{n} = \frac{1}{6} = \left(U_{n} + \frac{90}{29}\right)$

on en déduit que :

$p_{n} = \frac{1}{6} \left((\frac{84}{29}) \times ( -\frac{11}{18})^{(n-1)} + \frac{90}{29}\right)$

ou encore

$p_{n} = \frac{1}{29} (14) \times\left( -\frac{11}{18})^{(n-1)} + 15\right )$ .

c) La probabilité pour que la ville ne soit pas délestée le $20^{i\grave{e}me$ jour est $p_(\bar D_20)$
(attention !).

$p_(\bar D_20) = 1 – p_{20} = 1 -\frac{1}{29}\left (14 \left(\frac{11}{18}\right)^{19} + 15\right) \cong 0.483$ .

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