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corrigé epreuve 2010 : probléme

Détails: Catégorie : synthèse

PARTIE A

1) Etude du signe de $4e^{2x}-5e^{x}+1$

$4e^{2x}-5e^{x}+1$ s'annule pour $e^{x}$ =1 soit $x=0$ ou $\displaystyle e^{x}=\frac{1}{4}$ soit $x = - \ln4$

D'où $4e^{2x}-5e^{x}+1 >0$ si $x\in\left]-\infty,-\ln4\right[\cup\left]0,+\infty\right[$

$4e^{2x}-5e^{x}+1<0$ si $x\in\left]-\ln4,0\right[$

son tableau de singe

2) a) $\phi$ : $x\mapsto \ln x-2\sqrt{x}+2$

L'ensemble de définition $D_{\phi}=\left]0,+\infty\right[$

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^{+}}\phi(x)=-\infty-0=-\infty$

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\sqrt{x}\left(\frac{\ln x}{\sqrt{x}}-2+\frac{2}{\sqrt{x}}\right)=+\infty(0-2+0)=-\infty$

b) $\displaystyle\phi'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}-x}{x\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}(1-\sqrt{x})}{x\sqrt{x}}$

$\displaystyle\phi'(x)=\frac{(1-\sqrt{x})}{x}$ , on a $x>0$ , le signe de $\phi'(x)$ est celui de $1-\sqrt{x}$ , ainsi $\phi'(x)=0$ si $x=1$

Si $x<1$ , $\phi'(x)>0$ et $x>1$ , $\phi'(x)<0$

Tableau de variation

c) Le maximum de $\phi$ est 0 d'où pout tout $x>0$ , $\phi(x)<0$

PARTIE B

f est une fonction définie par
$f(x)= \left \lbrace \begin{array}{l} \displaystyle x+\frac{e^{x}}{2e^{x}-1} \qquad si x \le 0 \\ 1-x+\sqrt{x}\ln{x} \qquad si x>0\\ \end{array} \right.$

est la courbe représentative de f dans un repère orthonormé d'unité 2cm.

1. a) Si $x<0, \displaystyle f(x)=x+\frac{e^{x}}{2e^{x}-1}$ existe si $2e^{x}-1\neq 0 , e^{x}\neq\displaystyle\frac{1}{2}$ ou $x\neq-\ln{2}$ .

Si $x>0$ , f(x)= $1-x+\sqrt{x}\ln{x}$ si $x>0$ est définie dans \\ $D_{f}=]-\infty,-\ln{2}[\cup]-\ln{2},+\infty[$

b) $\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow-\infty}x+\frac{e^{x}}{2e^{x}-1}=-\infty$

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\ln{2^{-}}}f(x)=\lim_{x\rightarrow-\ln{2^{-}}}x+\frac{e^{x}}{2e^{x}-1}=-\infty$

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\ln{2^{+}}}f(x)=\lim_{x\rightarrow-\ln{2^{+}}}x+\frac{e^{x}}{2e^{x}-1}=+\infty$

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow+\infty}x\left(\frac{1}{x}-1+\frac{\sqrt{x}}{x}\ln{x}\right)=\lim_{x\rightarrow+\infty}x\left(\frac{1}{x}-1+\frac{\ln{x}}{\sqrt{x}}\right)$

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty\times-1=-\infty$

Branches infinies :

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\ln{2^{-}}}f(x)=-\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\ln{2^{+}}}f(x)=+\infty$ d'où la droite d'équation $x=-\ln{2}$ est assymptote verticale à $(C_{f})$ .

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty$ Etudions $\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{f(x)}{x}$

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{f(x)}{x}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}1+\frac{e^{x}}{x(2e^{x}-1)}=1$

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)-x=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{e^{x}}{x(2e^{x}-1)}=0$ D'où la droite d'équation $y=x$ est assymptote à $(C_{f})$ pour $x<0$

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty$ Etudions $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f(x)}{x}$

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(\frac{1}{x}-1+\frac{\ln{x}}{\sqrt{x}}\right)=-1$

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)+x=\lim_{x\rightarrow+\infty}1+\sqrt{x}\ln{x}=+\infty$ , D'où pour $x>0$ , $(C_{f})$ admet une direction asymptotique d'équation $y=-x$

c) Position de $(C_{f})$ par rapport à l'aasymptote d'équation $y=x$ sur $]-\infty,0[$ .

$\displaystyle f(x)-x=\frac{e^{x}}{2e^{x}-1}$

Pour $x\leq0$ , $f(x)-x$ est du signe de $2e^{x}-1$ . Ainsi, $f(x)-x<0$ si $x<-\ln{2}$ et $f(x)-x>0$ si $x\in]-\ln{2},0[$ .

D'où si $x\in]-\infty,-\ln{2}[$ $(C_{f})$ se situe au dessous de l'asymptote et si $x\in]-\ln{2},0[$ , $(C_{f})$ se situe au dessus de l'asymptote.

2) a) Continuité de f en 0

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow0^{-}}\left(x+\frac{e^{x}}{2e^{x}-1}\right)=0+\frac{1}{1}=1=f(0)$ d'où f est continue en 0 à gauche.

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow0^{+}}\left(1-x+\sqrt{x}\ln{x}\right)=1 =f(0)$ d'où f est continue en 0 à droite.

f est continue en 0 à gauche et f est continue en 0 à droite ce qui fait que f est continue en 0.

b) Dérivabilité en 0

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^{-}}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow0^{-}}\frac{x+\frac{e^{x}}{2e^{x}-1}-1}{x}=1+\lim_{x\rightarrow0^{-}}\frac{e^{x}-2e^{x}+1}{x(2e^{x}-1)}}\\=1+\lim_{x\rightarrow0^{-}}\frac{-e^{x}+1}{x}\times\frac{1}{2e^{x}-1}=1+\lim_{x\rightarrow0^{-}}-\frac{e^{x}-1}{x}\times\frac{1}{2e^{x}-1}=1-1=0$

D'où f est dérivable en 0 à gauche et f'_{g}(0)=0

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{(1-x+\sqrt{x}\ln{x}-1}{x}=\lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{-x+\sqrt{x}\ln{x}}{x}=-1+\lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{\ln{x}}{\sqrt{x}}=-1+\infty$

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=+\infty$ donc f n'est pas dérivable en 0 à droite.

Interprétation des résulats

$f'_{g}(0)=0$ , au point d'abscisse 0, la courbe $(C_{f})$ possède une demi tangente horizontale à gauche.

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{f(x)-f(0)}{x}=+\infty$ , au point d'abscisse 0, la courbe $(C_{f})$ posséde un demi tangente verticale à droite.

3) Pour $x\in]-\infty,0],\displaystyle f(x)= x+\frac{e^{x}}{(2e^{x}-1)^{2}}$

$\displaystyle f'(x)= 1+\frac{e^{x}(2e^{x}-1)-2e^{x}\times e^{x}}{2e^{x}-1}=1+\frac{2e^{2x}-e^{x}-2e^{2x}}{(2e^{x}-1)^{2}}=\frac{4e^{2x}-5e^{x}+1}{(2e^{x}-1)^{2}}$

Le signe de f'(x) est celui de $4e^{2x}-5e^{x}+1$ étudié en A)

Pour $x>0$ , $f(x)=1+x\ln{x}-x$

$\displaystyle f'(x)=-1+\frac{1}{2\sqrt{x}}\ln{x}+\frac{\sqrt{x}}{x}=\frac{-2\sqrt{x}+\ln{x}+2}{2\sqrt{x}}=\frac{\phi(x)}{2\sqrt{x}}$

On sait que $\phi(x)\leq0$ et $2\sqrt{x}>0$ sur $]0,+\infty[$ d'où $f'(x)\leq0$

4) Courbe de f

5) Calcul de l'aire du domaine défini par

$\left \lbrace \begin{array}{lll} -\ln{8}\leq x\leq-\ln{4}\\ f(x)\leq y\leq x\\ \end{array}\right.$

partie hachurée sur la figure.

L'aire de ce domaine est :

$\displaystyle A=\int_{-\ln{8}}^{-\ln{4}}\left(x-f(x)\right)dx \times 4cm^{2}\\=\int_{-\ln{8}}^{-\ln{4}}-\frac{e^{x}}{2e^{x}-1}dx\times 4cm^{2}=4\left[-\frac{1}{2}\ln{\left|2e^{x}-1\right|}\right]_{-\ln{8}}^{-\ln{4}}\\=-2\left[\ln{\left(-\frac{1}{2}+1\right)}-\ln{\left(-\frac{1}{4}+1\right)}\right]=-2\left(\ln{\frac{1}{2}}-\ln{\frac{3}{4}}\right)=-2\ln\left(\frac{1}{2}\times\frac{4}{3}\right)\\=-2\ln{\frac{2}{3}}=2(\ln{3}-\ln{2})\\A\approx0,8 cm^{2}$

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