2010 : probléme

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Terminale S2

2010 : probléme

Détails: Catégorie : Synthèse

Les parties A et B du problème ne sont pas indépendantes.

PARTIE A

1) Etudier sur IR le signe de $4e^{2x} – 5e^{x} + 1.$ (0,5 pt)

2) Soit $\phi$ la fonction définie par : $\phi(x) = lnx - 2\sqrt{x}+2$ .

a) Déterminer son domaine de définition $D_{\phi}$ et calculer ses limites aux bornes de $D_{\phi}$ . (0,75 pt)

b) Etudier ses variations et dresser son tableau de variations. (01 pt)

c) En déduire son signe. (0,25 pt)

PARTIE B

Soit f la fonction définie par :

$f(x) =\left \{ \begin{array}{l} x+\frac{e^x}{2e^x-1} \qquad si \qquad x \leq 0\\ 1-x+\sqrt{x}ln{x} \qquad si \qquad x>0 \end{array} \right.$

On désigne par $(C_f)$ la courbe représentative de f dans un repère orthonormé d’unité 2 cm.

a) Déterminer $D_f$ le domaine de définition de f.(0,5 pt)

b) Calculer les limites de f aux bornes de $D_f$ et étudier les branches infinies de $(C_f)$ .(01 + 0,5 pt)

c) Etudier la position de $(C_f)$ par rapport à l’asymptote non parallèle aux axes dans $]-\infty,0]$ . (0,25 pt)

2) a) Etudier la continuité de f en 0.(0,25 pt)

b) Etudier la dérivabilité de f en 0 et interpréter graphiquement les résultats. (0,25 + 0,25 pt)

3) Déterminer la dérivée de f et dresser le tableau de variations de f. (0,5 + 0,5 pt)

4) Construire dans le repère les asymptotes, la courbe $(C_f)$ et les demi-tangentes. On remarquera que f(1) = 0 et f’(1) = 0.(02 pts)

5) Calculer en $cm^2$ l’aire du domaine délimité par $(C_f)$ , la droite d’équation y = x et les droites d’équations x = - ln8 et x = - ln4. (0,5 pt)

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