corrigé epreuve 2010 :probabilité élémentaire-variable aléatoire

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corrigé epreuve 2010 :probabilité élémentaire-variable aléatoire

Détails: Catégorie : Probabilités

Un tiroir contient pêle-mêle 5 paires de chaussures noires, 3 paires de chaussures vertes et 2 paires de chaussures rouges, soit au total vingt chaussures. Toutes les paires de chaussures sont de modèles différents.

1) a) Tirage simultané de deux chaussures. L'univers $\Omega$ est l'ensemble des combinaisons de 2 paires parmi 20 paires, c'est à dire :

$Card\Omega=C^{2}_{20}=\displaystyle\frac{20!}{18!\times2!}=\displaystyle\frac{20\times19}{2}$

$Card\Omega=190$

A l'événement : "Tirer 2 chaussures de même couleur",

$Card A=C^{2}_{10}+C^{2}_{6}+C^{2}_{4}= \displaystyle\frac{10!}{8!\times2!}+\displaystyle\frac{6!}{4!\times2!}+\displaystyle\frac{4!}{2!\times2!}=45+15+6=66$

$P(A)=\displaystyle\frac{66}{190}=0,35$

b) B: "Tirer un pied gauche et un pied droit"

$Card B=C^{1}_{10}\times C^{1}_{10}=10\times10=100$

$P(B)=\displaystyle\frac{100}{190}=0,52$

c) C : "Tirer 2 chaussures d'un même modèle"

Card C = $C^{1}_{2}\times10=1\times10=10$

$P(C)=\displaystyle\frac{10}{190}\equiv 0,05$ .

2) On ne conserve plus dans le tiroir qu'une paire de chaussures noires et une paire de chaussures rouges. On tire successivement et sans remise une chaussure du tiroir jusqu'à ce que le tiroir soit vide..

On note X la variable aléatoire égale au rang de la $2^{i\grave{e}me}$ chaussure noire tirée.

a) X étant le rang de la $2^{i\grave{e}me}$ chaussure noire tirée, celle-ci peut être au $2^{i\grave{e}me}$ } rang, au $3^{i\grave{e}me}$ ou au $4^{i\grave{e}me}$ .

$X=\left\{2,3,4\right\}$ . $Card\Omega=4!=24$

b) (X=2) c'est choisir dans l'ordre : noire, noire, rouge, rouge.

$P(X=2)=\displaystyle\frac{2\times1\times2\times1}{24}=\frac{1}{6}$

(X=3) c'est choisir dans l'ordre : noire, rouge, noire,rouge ou rouge, noire, noire, rouge d'où :

$\displaystyle P(X=3)=\frac{2\times2\times1\times1+2\times2\times1\times1}{24}=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$

(X=4) c'est choisir dans l'ordre : noire, rouge, rouge, noire ou rouge, noire, rouge, noire ou rouge, rouge, noire,noire d'où :

$\displaystyle P(X=4)=\frac{2\times2\times1\times1+2\times2\times1\times1+2\times1\times2\times1}{24}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$

Espérance mathématique et Ecart-type

$\displaystyle E(X)=(2\times\frac{1}{6})+(3\times\frac{1}{3})+(4\times\frac{1}{2})$

$\displaystyle =\frac{1}{3}+\frac{3}{3}+\frac{4}{2}=\frac{10}{3}$

La variance $\displaystyle V(X)=E(X)^{2}-(E(X)^{2}=\left(4\times\frac{1}{6}\right)+(9\times\frac{1}{3})+\left(16\times\frac{1}{2}\right)-\frac{100}{9}=\frac{2}{3}+\frac{9}{3}+\frac{24}{3}-\frac{100}{9}=\frac{35}{3}-\frac{100}{9}=\frac{105-100}{9}=\frac{5}{9}\approx0,55$

V(X)=0,55

L'écart-type $\sigma_{X}=\sqrt{V(X)}=\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{3}\equiv0,74$

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