corrigé epreuve 2008 : Probabilés conditionnelles-variables aléatoires

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Corrigé Epreuve 2006: Etude de fonction et calcul d’aire

corrigé epreuve 2008 : Probabilés conditionnelles-variables aléatoires

Détails: Catégorie : Probabilités

On dispose de 3 urnes $U_{1}$ , $U}_{2}$ , $U_{3}$

$U_{1}$ contient 3 boules vertes et 2 boules rouges

$U_{2}$ contient 4 boules vertes et 5 boules jaunes

$U_{3}$ contient 5 boules jaunes, 4 boules rouges et 1 boule verte

Description de l'épreuve

Cette épreuve consiste à tirer une boule dans $U_{1}$

Si elle est verte, on la met dans $U}_2$ puis on tire une boule dans $U_{2}$

Si elle est rouge, on la met dans $U_{3}$ puis on tire une boule dans $U_{3}$

A/ 1) Calculer la probabilité d'avoir une boule verte au deuxième tirage sachant que la première boule tirée est verte.

Soit V $_2$ l'événement "avoir une boule verte au deuxième tirage"' et V $_1$ l'évènement "la première boule tirée est verte"

on a $P_{V_1}(V2)=\frac{P(V_1 \cap V_2}{P(V_1)}=\frac{Card(V_1 \cap V_2}{Card(V_1)}$

$Card (V_1)= C_3^1 \times C_{10}^1 = 30$

$Card (V_1 \cap V_2) = C_3^1 \times C_5^1 = 3 \times 5 = 15 \Longrightarrow P_{V_1}(V2)= \frac{1}{30}=\frac{1}{2}$

2) Calculer la probabilité d'avoir une boule verte au deuxième tirage sachant que la première boule tirée est rouge

Soit R $_1$ l'événement "la première boule tirée est rouge"

$P_{R_1}(V_2)=\frac{P(R_1 \cap V_2}{P(R_1)}=\frac{Card(R_1 \cap V_2}{Card(R_1)}$

$\left\{\begin{array}{l}Card(R_1 \cap V_2) = C_2^1 \times C_1^1 = 2 \times 1 = 2\\\\Card(R_1) = C_2^1 \times C_{11}^1 = 2 \times 11 = 22\end{array}\right.$

$\Longrightarrow P_{R_1}(V2) =\frac{2}{22} = \frac{1}{11}$

3) En déduire la probabilité d'avoir une boule verte au deuxième tirage

Soit V $_2$

$P(V_2)=P_{V_1}(V_2) + P_{R_1}(V_2) = \frac{1}{2} + \frac{1}{11} = \frac{13}{22}$

4) Calculer la probabilité d'avoir "une boule jaune au deuxième tirage"

Soit J $_2$ cet événement

$P(J_2)= P_{V_1}(J_2) + P_{R_1}(J2) = \frac{Card(V_1 \cap J_2)}{Card V_1} + \frac{Card(R_1 \cap J_2)}{Card R_1}$

on a $Card(V_1 \cap J_2) = C_3^1 \times C_5^1 =15$

$Card(R_1 \cap J_2) = C_2^1 \times C_5^1 = 2 \times 5 = 10$

$P(J_2)= \frac{15}{30} + \frac{10}{22} = \frac{1}{2} + \frac{10}{22} = \frac{11+10}{22} = \frac{21}{22}$

$P(J_2)=\frac{21}{22}$

5) Calculer la probabilité d'avoir "une boule rouge au deuxième tirage"

Soit R $_2$

$P(R_2)= P_{V_1}(R_2) + P_{R_1}(R_2)= \frac{Card(V_1 \cap R_2)}{Card V_1} + \frac{Card(R_1 \cap R_2)}{Card R_1}$

$Card(V_1 \cap R_2) = 0$

$Card(R_1 \cap R_2) = C_2^1 \times C_5^1 = 2 \times 5 = 10$

$P(R_2) = \frac{10}{22} = \frac{5}{11}$

$P(R_2) = \frac{5}{11}$

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