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2011 : probléme

Détails: Catégorie : Synthèse

I. Soit la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \frac{3(x-1)^3}{3x^2+1}$ .

1°) Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. (0,5pt)

2°) Déterminer la dérivée de f, étudier son signe et dresser le tableau de variation de f.(01,5 pt)

3°) Montrer que l’équation f(x) = 1 admet une solution et une seule $\alpha \in R$ .

En déduire que $3 < \alpha < 4$ .(1 pt)

II. Soit la fonction g définie par $g(x) = \frac{3(ln|x|-1)^3}{3ln^2 |x|+1}$ .

1°) a) Montrer que g est définie sur IR*.(0,5 pt)

b) Démonter que g est la composée de la fonction f et d’une fonction h à préciser.(0,25 pt)

c) Etudier la parité de g.(0,25 pt)

d) On note $D_E = ]0;+\infty[$ .

Soit k la restriction de g à $D_E$ .

Calculer les limites de k aux bornes de $D_E$ . Etudier les branches infinies.(1 pt)

2°) a) En utilisant les questions I) et II 1) b.

Calculer k' (x) et étudier les variations de k sur $D_E$ . (0,5 pt)

Dresser le tableau de variation de k sur $D_E$ .(0,5 pt)

b) Déterminer le point d’intersection de la courbe de k avec l’axe des abscisses et préciser le signe de k.(0,5 pt)

3°) a) Montrer que k réalise une bijection de $]0; +\infty[$ sur un intervalle J à préciser.(0,5 pt)

b) Construire les courbes $(C_k)$ et $(C_{k}^{-1})$ , $C_{k}^{-1}$ étant la courbe représentative de la bijection réciproque $k^{-1}$ de k dans un repère orthonormé ; unité graphique : 1 cm.(1 pt)

Tracer la courbe de g dans le repère précédent.(0,5 pt)

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