2011 : Probabilités et suite numériques

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Terminale S2

2011 : Probabilités et suite numériques

Détails: Catégorie : Probabilité

I. On considère $\Omega$ l’univers associé à une expérience aléatoire, A et B deux événements. Dans le cas d’équiprobabilité rappeler la probabilité des événements suivants :

A, A sachant, $B,A \cap \bar{B}$ et $(A \cap \bar{B}) \cup (A \cap B)$ . (2 pts)

II. Une société de distribution d’électricité ayant une production insuffisante en électricité pour assurer une alimentation continue dans tout le pays, procède à des délestages.
Ainsi, à partir d’un certain jour, les délestages ont débuté dans la ville à un rythme décrit comme suit :

― le premier jour, la ville est délestée.

― Si la ville est délestée un jour, la probabilité qu’elle soit délestée le jour suivant est $\frac{2}{9}$ .

― Si elle n’est pas délestée un jour, la probabilité qu’elle soit délestée le jour suivant est $\frac{5}{6}$ .

On désigne par $D_{n}$ l’événement : « La ville est délestée le $n^{i\'eme}$ jour » et $p_n$ la probabilité de l’événement $D_n$ , $p_n = p(D_n)$

1°) Montrer les égalités suivantes :

$p(D_1) = 1$ ; $p(D_{n+1}/D_n) = \frac{2}{9}$ ; $p(D_{n+1}/ \bar{D_n}) = \frac{5}{6}$ . (0,75 pt)

2°) Exprimer $p_{n+1}$ en fonction de $p(D_{n+1} \cap D_n)$ et $p(D_{n+1} \cap \bar{D_n})$ .(0,5 pt)

3°) En déduire que, quel que soit $n \in \mathbb N^{*}$ , on a :

$p_{n+1} = -\frac{11}{18} p_n + \frac{5}{6}$ .(0,25 pt)

4°) On pose $U_n = 6p_n ― \frac{90}{29}$ , pour $n \in \mathbb N^{*}$ .

a) Montrer que la suite $(U_n)$ est géométrique. Préciser sa raison et son $1^{er}$ terme.(0,75 pt)

b) Exprimer $U_n$ puis $p_n$ en fonction de n.(1 pt)

c) Un match de football doit se jouer le $20^{\'eme}$ jour. Quelle est la probabilité pour que les habitants de la ville le suivent sans délestage ?(0,5 pt)

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