2011 : Equation dans C

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Corrigé 2015 :

Le plan complexe est muni du repère orthonormé $(O, \vec{u} , \vec{v})$ direct.

I. Soit $z\in\mathbb C$ où $\mathbb C$ désigne l’ensemble des nombres complexes.

Posons $z = x + iy, x$ et $y$ réels.

1°) Sous quelle forme est écrit $z$ ? Quelle est sa partie réelle ? Quelle est sa partie imaginaire ? (0,25 pt)

2°) Quel est le module de $z$ ? (0,25 pt)

3°) Soit $\alpha$ un argument de $z$ pour $z \in \mathbb C^*$ .
Déterminer le cosinus et le sinus de $\alpha$ en fonction de $z$ . (0,5 pt)

4°) Soit $M(z)$ un point du plan complexe et $M'(z')$ l’image de $M$ par

la rotation de centre $O$ et d’angle $\theta$ .
Exprimer $z'$ en fonction de $z$ et $\theta$ . (0,5 pt)

II. On considère dans $\mathbb C$ l’équation $(E)$ d’inconnue $z$ qui suit.

$(E) :\frac{1}{2}z^2 + 4z\sqrt{3} + 32 = 0.$

1°) Résoudre l’équation $(E)$ .(0,5 pt)

2°) On considère les points $A$ et $B$ d’affixes respectives $a = ― 4\sqrt{3} ― 4i$ et $b =― 4\sqrt{3} + 4i$ .

Calculer $OA, OB$ et $AB$ . (0,75 pt)

En déduire la nature du triangle $OAB$ . (0,5 pt)

3°) On désigne par C le point d’affixe $c = \sqrt{3} + i$ et par D son image par la rotation de centre $O$ et d’angle $\frac{\pi}{3}$ .

Déterminer l’affixe du point $D$ . (0,25 pt)

4°) On appelle G le barycentre des points pondérés (O, 1) ; (D, ―1) et (B, ― 1).

a) Montrer que le point $G$ a pour affixe $g = ― 4\sqrt{3} + 6i$ . (0,5 pt)

b) Placer les points $A, B, C$ et $G$ sur une figure (unité graphique : 1 cm). (1 pt)

5°) Déterminer une mesure en radians de l’angle $\left(\overrightarrow{GA},\overrightarrow{GC}\right)$ . (0,5 pt)

En déduire la nature du triangle $GAC$ . (0,25 pt)

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