2009 : Fonction et suites numeriques

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Synthèse

2009 : Fonction et suites numeriques

Terminale S2

2009 : Fonction et suites numeriques

Détails: Catégorie : Synthèse

1.a - Etudier les variations de la fonction f définie sur $]-1;+\infty[$ par : $f (x) = 2ln(x+ 1)$ . (01,5 point)

Tracer sa courbe représentative (C) dans le repère orthonormal $\left(0,\vec{i},\vec{j}\right)$ , unité: 2 cm. (01 point)

1.b - Démontrer que sur $[2;+\infty[$ la fonction l, définie par $l(x) = f(x)- x$ , est bijective et l'équation $l(x) = 0$ admet une solution unique $\lambda$ .(01 point)

2 - On considère la suite $(V_n)_{n \in IN}$ définie par :

$\left\{ \begin{array}{l} U_0=5\\ U_{n + 1} = 2ln (1 + U_n) \end{array} \right.$

2.a - Sans faire de calcul, représenter les quatre premiers termes de la suite sur le graphique. (0,5 point)

2.b - Démontrer par récurrence que pour tout n, $U_n \geq 2$ . (0,5 point)

2.c- Montrer que, pour tout x de l'intervalle $[2; +\infty[$ , $|f '(x)|\leq \frac{2}{3}$ (0,5 point)

2.d- En déduire que pour tout n, on a: $|U_{n+1}-\lambda| \leq \frac{2}{3}|U_n-\lambda|$ , (0,5 point)
que $|U_{n+1}-\lambda| \leq 2\left(\frac{2}{3}\right)^n$ , et que la suite $(U_n)$ converge vers $\lambda$ . (0,5 + 0,25 point)

2.e - Déterminer le plus petit entier naturel p tel que $|U_{p}-\lambda| \leq 10^{-2}$ .
Que représente $U_p$ pour $\lambda$ .(0,25 + 0,5 point).

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