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2008 : Equation differentielles intégrale

1) Soient les équations différentielles $(E_0) : y' + y = 0$ et $(E), y' + y=e^{-x} cos x$ .

a) Trouver les réels a et b pour que h soit solution de (E), avec $h(x) = (a cos x + b sin x) e^{-x}$ . (0,5 point)

b) Démontrer que f est solution de (E) si et seulement si f-h est solution de $(E_0)$ . (0,5 point)

c) Résoudre $(E_0)$ . (0,5 point)

d) Déduire des questions précédentes la solution générale de (E). (0,5 point)

e) Déterminer la solution g de (E) telle que g(0) = 0. (0,5 point)

2) Soit l la fonction définie par $l(x) = e^{-x} sin x$ .

a) Exprimer $cos ( x + \frac{\pi}{4})$ en fonction de cosx et sin x.

b) Etudier les variations de l sur $[0, 2\pi]$ .

c) Calculer $I = \int_0^{2\pi} l(x) dx$ .

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