2007 : Problème

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Corrigé 2010 : Pendule pesant

Terminale S2

2007 : Problème

Détails: Catégorie : Synthèse

1. Soit g la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par: $g(x) = 1 + x = lnx$ .

Dresser le tableau de variations de g.

2. Montrer qu'il existe un unique réel a élément de l'intervalle $]0, 2; 0,3[$ , solution de l'équation $g(x) = O$ .

3. En déduire le signe de g sur $]0; +\infty[$ .

4. Etablir la relation: $ln(a) = -1- a$ .

II. On considère la fonction 1 définie par :

$f(x)=\left\{\begin{array}{l} \frac{xlnx}{1+x} \qquad si \qquad x > 0 \\ 0 \qquad si \qquad x = 0 \end{array}\right.$

1. Montrer que la fonction 1 est continue en 0 puis sur $]0; +\infty[$ .

2. Etudier la dérivabilité de 1 en 0. Interpréter graphiquement ce résultat.

3. Déterminer la limite de 1 en +\infty.

4. Montrer que quelque soit x élément de $]0; +\infty[$ , $f'(x)=\frac{g(x)}{1+x}^2$ .

En déduire le signe de f'(x) sur $]0; +\infty[$ .

5. Montrer que $f(\alpha) = -\alpha$ .

6. Dresser le tableau de variations de la fonction f.

7. Représenter la fonction 1 dans le plan muni d'un repère orthonormal $\left(O, \vec{i}, \vec{j}\right).$
Unité graphique 5 cm. Prendre $\alpha = 0.3$

III. 1. A l'aide d'une intégration par parties, calculer l'intégrale $l =\int_{1}^{e}x.ln(x) dx$ .

2. Montrer que pour tout x élément de $[1, e],\frac{xlnx}{e+1}\leq f(x) \leq\frac{xlnx}{2}$ .

En déduire que :

$\frac{e^2 + 1}{4( e + 1)}\leq\int_{1}^{e} f(x) dx\leq\frac{e^2 + 1}{8}$ .

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