2008 : Accélérateurs de particules

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Corrigé Epreuve 1994 : Défendre la nature

Terminale S1 et S3

2008 : Accélérateurs de particules

Détails: Catégorie : Exercices du BAC

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Un des objectifs de la physique des hautes énergies est de découvrir les constituants de la matière et de comprendre les interactions qui les régissent.

Le but des accélérateurs de particules est donc de casser des noyaux et des nucléons en provoquant des collisions entre ces particules.

Un accélérateur de particules chargées utilise pour les accélérer un champ électrique ou un champ magnétique variable dans le temps et pour les dévier, un champ magnétique capable de courber et de focaliser les trajectoires.

L’année 1928 marque l’invention de l’accélérateur linéaire par Rolf Wideröe : un champ électrique alternatif va accélérer les électrons. En 1930, Lawrence invente quant à lui un accélérateur circulaire : le cyclotron.

Les accélérateurs ont d’importantes applications théoriques (entre autres,recherche sur l’histoire de l’univers, sur les particules élémentaires) et médicales (protonthérapie,fission des atomes d’une tumeur...)

NB : Dans tout l’exercice, on ne tiendra pas compte du poids des particules dans l’étude de leur mouvement.

1. Etude d’un accélérateur linéaire : le modèle de Wideröe L'appareil est constitué d'une succession de tubes sous vide, séparés par de faibles interstices, disposés en ligne droite et mis à des potentiels alternativement positifs ou négatifs de sorte que deux tubes successifs soient toujours à des potentiels de signes opposés.

Entre deux tubes voisins est appliquée une tension alternative. Il y règne donc un champ électrique alternatif. A l'intérieur du tube le champ électrique est nul (figure 1).

Une source de particules chargées (protons par exemple) est placée devant le premier tube. A l'intérieur d'un tube, les particules "glissent" à vitesse constante.

Dans l'espace entre les tubes, le champ accélère les particules à condition qu'elles soient convenablement synchronisées.

Comme la vitesse des particules augmente, les tubes doivent être de plus en plus longs.

1.1. Considérons un proton qui sort d’un tube T et qui pénètre dans l’interstice (intervalle) qui le sépare du tube T’suivant (figure 2). Soit U la tension appliquée entre les tubes T et T’

- Préciser, justification à l’appui, la nature du mouvement d’une particule entre les deux tubes si on suppose que la durée de passage est si courte que le champ peut être considéré comme constant pendant cette durée.

- Exprimer le gain d’énergie $\Delta Ec$ que la particule de charge q acquiert de T à T’ en fonction de U.(0,75 pt)

1.2. Après traversée de l’interstice la particule pénètre avec une vitesse V dans le tube T’.

- Justifier, par application d’une loi de la dynamique, le fait que les particules « glissent » (se déplacent) à vitesse constante à l’intérieur du tube.

- Exprimer la durée de traversée du tube en fonction de V et de la longueur L du tube.

- Pour un bon fonctionnement du dispositif, la durée de traversée de chaque tube doit être égale à la demi-période de la tension. En déduire l’expression de la période $T_{0}$ de la tension alternative.(0,75 pt)

2. Etude d’un accélérateur circulaire :le cyclotron. Un cyclotron est un dispositif constitué de deux demi-cylindres $D_1$ et $D_2$ , appelés « dees », séparés par une distance très faible d devant leur diamètre. Le tout est placé dans le vide. Un champ magnétique $\vec B$ perpendiculaire au plan de la figure est créé dans $D_1$ et $D_2$ . Entre les « dees » et sur la distance d agit un champ électrique uniforme $\vec E$ . Ce champ $\vec E$ est constamment nul à l’intérieur des deux « dees ». On suppose que la d.d.p U entre $D_1$ et $D_2$ reste constante.

On donne : masse du proton $m = 1,67.10^{-27}kg$ ;Charge élémentaire $e =1,6.10^{-19}C$ ; d = 1 cm ;U = 4000 V.

2.1. Au voisinage immédiat de $D_2$ une source S émet des protons avec une vitesse initiale négligeable. Préciser la nature du mouvement du proton entre $D_2$ et $D_1$ et établir l’expression de la vitesse $V_1$ du proton au moment il pénètre dans $D_1$ , en fonction de e, m et U. Calculer $V_1$ .(0,5 pt)

2.2. Le proton pénètre dans $D_1$ , sa vitesse $\vec{V_{1}}$ est perpendiculaire à $\vec{B}$ .

- Montrer que le mouvement du proton dans $D_1$ est circulaire uniforme.

- Donner l’expression du rayon $R_{1}$ du demi-cercle décrit par le proton en fonction de e, m, B et U.

- Exprimer littéralement le temps de transit $\tau$ mis par le proton pour décrire ce demi cercle ;montrer qu’il est indépendant de la vitesse donc non modifiée par la présence du champ électrique accélérateur. Faire l’application numérique avec B= 1T.(01 pt)

2.3. Au moment précis où le proton quitte $D_1$ , on inverse le sens de $\vec E$ , le proton pénètre ainsi dans $D_2$ avec une vitesse $V_{2}$

- Etablir l’expression de la vitesse $V_{2}$ du proton et donner l’expression du rayon $R_{2}$ de la trajectoire décrite dans $D_2$ .

- Exprimer le temps de transit dans $D_2$ . Le comparer à $\tau$ .(0,5 pt).

2.4. Quand le proton quitte $D_2$ , on inverse à nouveau le sens de $\vec E$ . La particule, accélérée par la même tension U, pénètre dans $D_1$ avec une vitesse $V_{3}$ , y décrit un demi-cercle de rayon $R_{3}$ , ainsi de suite...

Exprimer le rayon $R_n$ de la $n^{ième}$ trajectoire demi-circulaire en fonction du rayon $R_{1}$ de la première trajectoire.

Donner la valeur de n pour $R_{n}=0,14 m$ . Calculer la vitesse correspondante $V_{n}$ du proton.

Quelle serait la d.d.p constante qui aurait donné cette vitesse au proton initialement émis sans vitesse initiale ? Commenter.(01,5 pt)

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