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Corrigé Epreuve 2005 : Statistiques à deux variables

Détails: Catégorie : Statistiques

Le tableau ci dessous $y_{i}$ représente le nombre d'exemplaires du produit que les clients sont disposés à acheter si le prix de vente, exprimé en milliers de francs est $x_{i}$

1) Calcul du coefficient de correlation linéaire

$r=\frac{cov(x,y)}{\sqrt{V(x)}\sqrt{V(y)}}$

$\overline{x}=\frac{\displaystyle{\sum_{i=1}^8 x_{i}}} {8}=\frac{60+80+100+120+140+160+180+200}{8}=\frac{1040}{8}=130$

$\overline{y}=\frac{\displaystyle{\sum_{i=1}^8 y_{i}}}{8}=\frac{952+805+630+522+510+324+205+84}{8}=\frac{4032} {8}=\allowbreak504$

$V(x)=\frac{\displaystyle{\sum_{i=1}^8x_{i}^{2}}}{8}-\overline{x}^{2}=\frac{152000}{8}-(130)^{2}=\allowbreak2100$

$V(y)=\frac{\displaystyle{\sum_{i=1}^8 y_{i}^{2}}}{8}-\overline{y}^{2}=\frac{2637870}{8}-(504)^{2}=75717,75$

$cov(x,y)=\frac{\displaystyle{\sum_{i=1}^8 x_{i}y_{i}}}{8}-\overline{x}\overline{y}=\frac{424100}{8}-130\times 504=-12507,5$

d'où :

$r=\frac{cov(x,y)}{\sqrt{V(x)}\sqrt{V(y)}}=\frac{-12507,5}{45,83\times 275,17}=-0,99$

$r\simeq-1,$

donc la valeur trouvée justifie la recherche d'un ajustement linéaire.

2) équation de la droite de régression de y en x.

$y=ax+b$ , avec:

$a=\frac{cov(x,y)}{V(x)}=\frac{-12507,5}{2100}=-5,95$

$b=\overline{y}-a\overline{x}=504-(-5,95)(130)=1277,5$

$y=-5,95x+1277,5$

3) Les frais de conception sont de $28000000$ F. le prix de fabrication de chaque produit est de $25000$ F.

a) $x$ est le prix de vente, donc y est le nombre d'exemplaires du produit.

le prix de vente est $yx=(-5,95x+1277,5)x$ en milliers de francs

le prix de revient est $25000y+28000000=25y+28000$ en milliers de francs.

Donc $z=(-5,95x+1277,5)x-25y-28000$

$z=(-5,95x+1277,5)x-25(-5,95x+1277,5)-28000$

$z=-5,95x^{2}+1426,25x-59937,5$

b) Déterminons le prix de vente $x$ permettant de réaliser un bénéfice maximum.

on a $z(x)=-5,95x^{2}+1426,25x-59937,5$

$z$ est une fonction continue et dérivable en $x$ sur $\mathbb{R}$ et :

$z^{\prime}(x)=-11,9x+1426,25$

$z^{\prime}(x)=0$ si $x=119,85$

on voit ainsi que $z$ atteint son maximum pour $x=119,85$ en milliers de francs.

donc le prix de vente permettant de réaliser un bénéfice maximum est $x=119.850$ F.

$z(119,85)=-5,95(119,85)^{2}+1426,25(119,85)-59937,5=25532,628$ en milliers de francs

D'où le bénéfice maximum est $25.532.628$ F

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