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Corrigé Epreuve 2006 : Probabilité conditionnelle

Une urne contient 6 boules indiscernables au toucher: 4 boules vertes et 2
boules jaunes.

1) On tire au hasard simultanément 2 boules de l'urne.

X est la variable aléatoire qui a chaque tirage de 2 boules, associe le
nombre de boules vertes tirées.

Déterminons la loi de probabilité de X.

on a X( $\Omega)=\left\{ 0,1,2\right\}$

on tire au hasard simultanément 2 boules parmi 6 donc $Card\Omega =C_{6}^{2}=\frac{6!}{2!(6-2)!}=15$

$(X=0)$ est l'évènement ne pas avoir de boule verte parmi les 2 boules tirées.

$Card(X=0)=C_{2}^{2}=1$ , $P(X=0)=\frac{1}{15}.$

$(X=1)$ est l'évènement obtenir une boule verte parmi les 2 boules tirées.

$Card(X=1)=C_{4}^{1}\times C_{2}^{1}=4\times2=8,$ $P(X=1)=\frac{8}{15}$

$(X=2)$ est l'évènement, les 2 boules tirées sont vertes.

$Card(X=2)=C_{4}^{2}=\frac{4!}{2!\times2!}=6,$ $P(X=2)=\frac{2}{5}$

on obtient:

Calculons l'espérance mathématique de $X$ .

On a $E(X)=\sum_{i=0}^nx_{i}\times p_{i},$

$E(X)=0\times P(X=0)+1\times P(X=1)+2\times P(X=2)=\frac{14}{15}.$

2) On tire au hasard deux fois de suite 2 boules simultanément, les boules
tirées n'étant pas remises dans l'urne.

Soient A,B,C et D les évènements suivants :

A : "Aucune boule verte n'est tirée au cours du premier tirage de 2 boules"

B : "Une boule verte et une boule jaune sont tirées au cours du premier
tirage de 2 boules"

C : "Deux boules vertes sont tirées au cours du premier tirage de 2 boules"

D: "Une boule verte et une boule jaune sont tirées au cours du
deuxième tirage de 2 boules"

a) Calculons P(D/A), P(D/B) et P(D/C).

$P(D/A)=0$

$P(D/B)=\frac{C_{3}^{1}\times C_{1}^{1}}{C_{4}^{2}}=\frac{1}{2}$

$P(D/C)=\frac{C_{2}^{1}\times C_{2}^{1}}{C_{4}^{2}}=\frac{2}{3}$

b) On en déduit la probabilité des évènements $D\cap A,D\cap B,D\cap C.$

On a :

$P(D/A)=\frac{P(D\cap A)}{P(A)}=0,$ donc $P(D\cap A)=0$

$P(D/B)=\frac{P(D\cap B)}{P(B)},$ donc $P(D\cap B)=P(B)P(D/B) =\frac{8}{15}\times\frac{1}{2}=\frac{4}{15}$

d'où $P(D\cap B)=\frac{4}{15}$

$P(D/C)=\frac{P(D\cap C)}{P(C)},$ donc $P(D\cap C)=P(C)P(D/C) =\frac{6}{15}\times\frac{2}{3}=\frac{4}{15}$

d'où $P(D\cap C)=\frac{4}{15}$

Calculons P(D).

On a $D=D\cap(A\cup B\cup C)=(D\cap A)\cup(D\cap B)\cup(D\cap C)$

Or $D\cap A,$ $D\cap B$ et $D\cap C$ sont 2 à 2 disjoints

donc P(D)=P(D $\cap A)+$ P(D $\cap B)+$ P(D $\cap C)$

P(D $)=\frac{4}{15}+\frac{4}{15}=\frac{8}{15}$

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