Propriétés de l’intégrale

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Essentiel du cours

Calcul intégral

Propriétés de l’intégrale

Terminale S1 et S3

Propriétés de l’intégrale

Détails: Catégorie : Calcul intégral

Relation de chasles

Soit $f$ une fonction définie et continue sur $I$ .

quelque soient les réels a, b et c, on a :

$\int_{a}^{b}f(t)dt=\int_{a}^{c}f(t)dt+\int_{c}^{b}f(t)dt$

linéarité

Si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $[a,b],$ alors
quelque soient les réels $\alpha$ et $\beta$ on a :

$\int_{a}^{b}(\alpha f+\beta g)(t)dt=\alpha\int_{a}^{b}f(t)dt+\beta\int_{a}^{b}g(t)dt$

Signe de l'intégrale

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a,b]=I$ tel que $a<b.$

- si $f\geq0$ sur I alors $\int_{a}^{b}f(t)dt\geq0$

- si $f\leq0$ sur I alors $\int_{a}^{b}f(t)dt\leq0$

Intégrale et inégalité

Soit $f$ et $g$ sont des fonctions continues sur un intervalle $[a,b]$ tel que
$a<b,$

si pour tout $x$ de $[a,b]$ on a $f(x)\leq g(x)$

alors $\int_{a}^{b}f(t)dt\leq\int_{a}^{b}g(t)dt$

Conséquence :

Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $[a,b]$ alors on a :

$\left\vert \int_{a}^{b}f(t)dt\right\vert \leq\int_{a}^{b}\left\vert f(t)\right\vert dt$

Inégalité de la moyenne

Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $I$ contenant
$a$ et $b$ , avec $a<b$

si $m\leq f\leq M$ sur $[a,b],$ alors

$m(b-a)\leq\int_{a}^{b}f(t)dt\leq M(b-a)$

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