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Corrigé Epreuve 2006 : Calcul intégral et suite

Détails: Catégorie : Calcul intégral

Partie A

1) $H(x)=\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t^{2}}dt$

a) La fonction $t\rightarrow\frac{1}{1+t^{2}}$ est continue sur $\mathbb{R}$ donc elle y admet des primitives. Soit L l'un d'entre elles.

Donc $H(x)=L(x)-L(0)$ ,
_ donc H est définie sur $\mathbb{R}$ , et dérivable sur $\mathbb{R}$ .

$H^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x^{2}}$

b) $(Ho\tan)^{\prime}(x)=(\tan x)^{\prime}\times\frac{1}{1+\tan^{2}x}=1$

Ainsi $(Ho\tan)(x)=x+c$

$(Ho\tan)(0)=0+c$ or $\tan0=0$ et $H(0)=0$ d'où $c=0$

Ainsi $(Ho\tan)(x)=x$ , $x\in\left] -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[$

$\tan\frac{\pi}{4}=1$ avec $(Ho\tan)(\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{4}$

$H(1)=\frac{\pi}{4}$

2) a) G dérivable sur $\left] 0,+\infty\right[$

F dérivable sur $\left] 0,+\infty\right[$

g dérivable sur $\left] 0,+\infty\right[$

$F^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)-g^{\prime}(x)\times H^{\prime}og(x)$

$F^{\prime}(x)=\frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{2x}-1}}-\frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{2x}-1} }\times\frac{1}{1+g^{2}(x)}$

d'où $F^{\prime}(x)=\sqrt{e^{2x}-1}$
_ or $G^{\prime}(x)=g(x)$

On en déduit que $F^{\prime}(x)=G^{\prime}(x)$

b)
$F^{\prime}(x)=G^{\prime}(x)$

donc $G(x)=F(x) +c$

$G(0)=0$ et $\qquad F(0) = g(0) - Hog(0)=0$

entraine $\qquad c=0$

d'où $G(x)=F(x)$

$G(\ln\sqrt{2})=F(\ln\sqrt{2})=g(\ln\sqrt{2})-Hog(\ln\sqrt{2})$

$g(\ln\sqrt{2})=\sqrt{e^{2\ln\sqrt{2}}-1}=1$

$G(\ln\sqrt{2})=1-H(1)=1-\frac{\pi}{4}$

$I=1-\frac{\pi}{4}$

Partie B

1)a) $f^{\prime}(x)=2e^{2x}\qquad e^{2x}=\frac{1}{2}f^{\prime}(x)\qquad f(x)=e^{2x}-1\qquad e^{2x}=1+f(x)=\frac{1}{2}f^{\prime}(x)=1+f(x)$

d'où $f^{\prime}(x)=2\left[ 1+f(x)\right]$

b) $I_{n+2}=\int_{0}^{\ln\sqrt{2}}\left[ f(x)\right] ^{\frac{n+2}{2}}dx$

$I_{n}+I_{n+2}=\int_{0}^{\ln\sqrt{2}}\left[ f(x)\right] ^{\frac{n+2}{2} }dx+\left[ f(x)\right] ^{\frac{n}{2}}dx$

$I_{n}+I_{n+2}=\int_{0}^{\ln\sqrt{2}}\left[ f(x)\right] ^{\frac{n}{2} }\left[ 1+f(x)\right] dx$

$I_{n}+I_{n+2}=\int_{0}^{\ln\sqrt{2}}\frac{1}{2}f^{\prime}(x)\left[ f(x)\right] ^{\frac{n}{2}}dx$

$I_{n+2}+I_{n}=\frac{1}{n+2}$

$n=0,$ $I_{0}+I_{2}=\ln\sqrt{2}+\int_{0}^{\ln\sqrt{2}}(e^{2x}-1)dx$

$I_{0}+I_{2}=\ln\sqrt{2}+\left[ \frac{1}{2}e^{2x}-x\right] _{0}^{\ln\sqrt {2}}$

$I_{0}+I_{2}=\ln\sqrt{2}+1-\ln\sqrt{2}-\frac{1}{2}$

$I_{0}+I_{2}=\frac{1}{2}$ or $\frac{1}{2}=\frac{1}{0+2}$

$I_{0}+I_{2}=\frac{1}{0+2}$

c) $I_{n+2}=\frac{1}{n+2}-I_{n}\geq0$

donc $0\leq I_{n}\leq\frac{1}{n+2}\qquad$

$\lim_{x\rightarrow+\infty} I_{n}=0$

2) $U_{n}=I_{n+4}-I_{n}$

a) $U_{n}=\frac{1}{n+4}-\frac{1}{n+2}$

$U_{un+1}=\frac{1}{(4n+1)+4}-\frac{1}{(4n+1)+2}$

$U_{un+1}=\frac{1}{4n+5}-\frac{1}{4n+3}$

b) $U_{4n+1}=I_{4n+1+4}-I_{4n+1}$

$U_{4n+1}=I_{4n+5}-I_{4n+1}$

$\sum_{n=0}^p U_{4n+1}=\sum_{n=0}^p (I_{4n+5}-I_{4n+1})$

$= (I_{5}-I_{1})+ (I_{9}-I_{5})+.....+(I_{4p+5}-I_{4p+1})$

$=I_{4p+5}-I_{1}$

$\sum_{n=0}^p U_{4n+1}=I_{4p+5}-I_{1}$

c) On a $\sum_{n=0}^p U_{4n+1}=\sum_{n=0}^p (\frac{1}{4n+5}-\frac{1}{4n+3} )$

$\sum_{n=0}^p U_{4n+1}=(\frac{1}{5}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{9}-\frac{1}{7})+.......+(\frac {1}{4p+5}-\frac{1}{4p+3})$

donc $I_{4p+5}-I_{1}=(\frac{1}{5}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{9}-\frac{1}{7})+.......+(\frac {1}{4p+5}-\frac{1}{4p+3})$

or
$I_{1}=\int_{0}^{\ln\sqrt{2}}\sqrt{e^{2x}-1} dx=I=1-\frac{\pi}{_{4}}$

d'où $I_{4p+5}+\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+.......+\frac {1}{4p+3}-\frac{1}{4p+5}$ = $\sum_{n=0}^{2p+2} \frac{(-1)^{n}}{2n+1}$

or $\lim_{n\rightarrow+\infty} I_{n}=0$

d'où

$\lim_{p\rightarrow+\infty} \sum_{n=0}^{2p+2} \frac{(-1)^{n}}{2n+1}=\frac{\pi}{4}$

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