2006 : Calcul intégral et suite

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Calcul intégral

2006 : Calcul intégral et suite

Terminale S1 et S3

2006 : Calcul intégral et suite

Détails: Catégorie : Calcul intégral

Dans ce problème on calcule dans la partie A la valeur d'une intégrale et on étudie dans la partie B une suite numérique $(I_{n})$ et quelques unes de ses différentes propriétés.

Partie A :

Calcul de $I=\int_{0}^{\ln\sqrt{2}}\sqrt{e^{2t}-1dt.}$

Soit g et G les fonctions définies sur $\left[ 0,+\infty\right[$ par : $g(x)=\sqrt{e^{2x}-1}$ et $G(x)=\int_{0}^{x}g(t)dt.$

1) Pour tout $x\in \mathbb{R} ,$ on pose : $H(x)=\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t^{2}}dt.$

a) Montrer que la fonction H est dérivable sur $\mathbb{R}$ et déterminer sa dérivée.

b) Calculer $(H\circ tan)\prime(x)$ pour tout $x\in\left] -\frac{\pi} {2},\frac{\pi}{2}\right[ .$ En déduire que

$(H\circ tan)(x)=x$ pour tout $x\in\left] -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[ .$ Calculer alors H(1).

2) Pour tout $x\in\left[ 0,+\infty\right[ ,$ on pose : $F(x)=G(x)-H\circ g(x);$

a) Vérifier que F et G sont dérivables sur $\left] 0,+\infty\right[$ et que pour tout $x\in\left] 0,+\infty\right[ ,$ $F\prime(x)=g\prime(x).$

b) En déduire que G(x)=F(x). Calculer alors $I$ .

on remarquera que $I=G(ln\sqrt{2})$ .

Partie B :

Soit f la fonction définie sur $\left] 0,+\infty\right[$ par :

$f(x)=e^{2x}-1.$ Pour tout $n\in \mathbb{N} ^{\ast},$ on pose :

$I_{n}=\int_{0}^{\ln\sqrt{2}}\left[ f(x)\right] ^{\frac{n}{2}}dx$ puis

$I_{0}=\ln\sqrt{2}$

1) a) Vérifier que la fonction f est dérivable sur $\mathbb{R} _{+}$ et que pour tout $x \in \mathbb{R} _{+} :$

$f\prime(x)=2\left[ 1+f(x)\right] \qquad\qquad(1)$

b) Montrer en utilisant la relation $(1)$ que pour tout $n\in \mathbb{N} ^{\ast},$ on a :

$I_{n}+I_{n+2}=\frac{1}{n+2}\qquad\qquad(2)$

Vérifier que la relation (2) reste encore valable pour $n=0$

c) En remarquant que la suite $(I_{n})_{n\in \mathbb{N} }$ est positve, montrer que $\lim_{n\rightarrow+\infty}I_{n}=0$

2) pour tout n $\in \mathbb{N} ,$ on pose : $U_{n}=I_{n+4}-I_{n}$

a) En remplaçant $n$ par $n+2$ , dans la relation (2), montrer que pour tout
$n\in \mathbb{N},U_{n}=\frac{1}{n+4}-\frac{1}{n+2}.$ En déduire l'expression de $U_{4n+1}$ en fonction de n.