Dans ce problème on calcule dans la partie A la valeur d'une intégrale et on étudie dans la partie B une suite numérique et quelques unes de ses différentes propriétés.
Partie A :
Calcul de
Soit g et G les fonctions définies sur par : et
1) Pour tout on pose :
a) Montrer que la fonction H est dérivable sur et déterminer sa dérivée.
b) Calculer pour tout En déduire que
pour tout Calculer alors H(1).
2) Pour tout on pose :
a) Vérifier que F et G sont dérivables sur et que pour tout
b) En déduire que G(x)=F(x). Calculer alors .
on remarquera que .
Partie B :
Soit f la fonction définie sur par :
Pour tout on pose :
puis
1) a) Vérifier que la fonction f est dérivable sur et que pour tout
b) Montrer en utilisant la relation que pour tout on a :
Vérifier que la relation (2) reste encore valable pour
c) En remarquant que la suite est positve, montrer que
2) pour tout n on pose :
a) En remplaçant par , dans la relation (2), montrer que pour tout
En déduire l'expression de en fonction de n.
b) Calculer en fonction de et de
c) Calculer la limite lorsque p tend vers de la somme
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