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Corrigé Epreuve 2004 : Variable aléatoire

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Catégorie : Probabilités


1)

 

Total des pièces = 10

 

p(A)=\frac{~C_{~4}^{~3}}{~C_{~10}^{~3}}=\frac{~4}{~\frac{10\times 9\times 8 }{~3\times 2}}=\frac{~4}{~10\times 3\times 4}

 

p(A)=\frac{1}{~30}

 

2)

a) X(\Omega )=\left\{ 0,1,2,3\right\}

 

p\left( X=0\right) =\frac{~C_{~4}^{~0}\times C_{~6}^{~3}}{ ~C_{~10}^{~3}}\qquad p\left( X=1\right) =\frac{~C_{~4}^{~1}\times C_{~6}^{~2} }{~C_{~10}^{~3}}\qquad p\left( X=2\right) =\frac{~C_{~4}^{~2}\times C_{~6}^{~1}}{~C_{~10}^{~3}}

 

p\left( X=0\right) =\frac{~CC_{~6}^{~3}}{~C_{~10}^{~3}}\qquad

 

p\left( X=0\right) =\frac{~20}{~120}\qquad p\left( X=3\right) =\frac{ ~4}{~120}

 

p\left( X=2\right) =\frac{~36}{~120}\qquad p\left( X=1\right) =\frac{ ~60}{~120}

 

 

b) E(X)=\sum_{i=1}^4 x_{i}p_{i}

 

E(X)=0\times \frac{~20}{~120}+1\times \frac{~60}{~120}+2\times \frac{ ~36}{~120}+3\times \frac{~4}{~120}

 

E(X)=\frac{~6}{8}

 

\sigma (X)=\sqrt{\sum_{i=1}^4 \left( x_{~i}\right) ^{~2}p_{~i}-\left( E(X)\right) ^{~2}}

 

\sigma (X)=\sqrt{ 0,56} \simeq 0,75

 

3)

 

On a ici une variable aléatoire de Bernoulli de paramètre

 

n=5 et p=\frac{1}{30}

 

Soit Y cette variable aléatoire

 

p\left( Y=3\right) =C_{~5}^{~3}\left( \frac{1}{30}\right) ^{~3}\left( 1- \frac{1}{30}\right) ^{~2}

 

p\left( Y=3\right) \simeq 3,46.10^{~-4}

 

 

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