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Terminale S1 et S3

2000 : Équations differentielles homogènes du second degré (04 pts)

Détails
Catégorie : Equations différentielles

 

1) Déterminer l’ensemble des solutions définies sur IR de l’équation différentielle :

 

y"+y=0 (1)

 

2) Etant donnée une fonction numérique de variable réelle , g ,deux fois dérivable sur \mathbb{R} ^{\ast } ; on définit la fonction f de \mathbb{R} ^{\ast } vers IR par :  \forall x\in  \mathbb{R} ^{\ast }

 

f(x)=xg(\frac{1}{x}).

 

Exprimer f"(x) à l’aide deg^{\prime }(\frac{1}{x}) et de x.

 

3) on considère l’équation différentielley"=-\frac{1}{x{{}^2} }y (2)

 

a) Démontrer que la fonction g deux fois dérivable sur \forall x\in \mathbb{R} ^{\ast } est solution de (2)si et seulement si la fonction f définie par :\forall x\in \mathbb{R} ^{\ast } ;  f(x)=xg(\frac{1}{x}) est solution de (1).

 

b) En déduire l’ensemble des solutions de (2) définies sur chacun des intervalles \left] -\infty ;0\right[ et\left] 0;+\infty \right[

 

4) soit g une solution de l’équation (2) définie sur \left] 0;+\infty \right[ . Déduire de ce qui précède une primitive de la fonction :x\longmapsto \frac{1}{x^{2}}g(x)

 

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