Corrigé Epreuve 2003 : Maladie du sida

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Corrigé Epreuve 2003 : Maladie du sida

Corrigé Epreuve 2003 : Maladie du sida

Détails: Catégorie : Probabilités

On note $T$ l'évènement "avoir un test positif à cette maladie"

$M$ l'évènement "être malade"

$\overline{M}$ est l'évènement contraire de $M$

pour tous évènements $A$ et $B$ on a: $(\ast)$ $A=(A\cap B)\cup(A\cap\overline{B})$

et $p_{A}(B)$ désigne la probabilité de $B$ sachant $A$

1) a) pour $A=T$ et $B=M$

on a $T=(T\cap M)\cup(T\cap\overline{M})\ \ \ \ \ \ \ \ \left( 1\right)$

pour $A=\overline{M}$ et $B=\overline{T}$

on obtient $\overline{M}=(\overline{M}\cap\overline{T})\cup(\overline{M}\cap T)$ $\ \ \ \ \left( 2\right)$

b) en utilisant la relation $\left( 2\right)$

$P(\overline{M})=p(\overline{M}\cap\overline{T})+p(\overline{M}\cap T)$

car $\overline{M}\cap\overline{T}$ et $\overline{M}\cap T$ sont deux événements incompatibles

donc $p(\overline{M}\cap T)=p(\overline{M})-p(\overline{M}\cap\overline{T})$

$p(\overline{M}\cap T)=p(\overline{M})-p(\overline{M})\times p_{\overline{M}% }(\overline{T})$

donc $p(\overline{M}\cap T)=p(\overline{M})\left[ 1-p_{\overline{M}% }(\overline{T})\right]$

2) faisons d'abord le diagramme pondéré

$p(T)=p(M\cap T)+p(T\cap\overline{M})$

$p(T)=p(M)\times p_{M}(T)+p(\overline{M})\times p\overline{_{M}}(T)$

$p(T)=0,005\times0,8+0,995\times0,1$

$p(T)=0,1035$

3)a) $p_{T}(M)=\frac{p(M\cap T)}{p(T)}=\frac{p_{M}(T)\times p(M)}{p(T)}=\frac{0,005\times0,8}{0,1035}$

$p_{T}(M)=\frac{8}{207}$

b) $p_{\overline{T}}(M)=\frac{p(M\cap\overline{T})}{p(\overline{T})}% =\frac{p(M)\times p_{M}(\overline{T})}{p(\overline{T})}=\frac{0,005\times 0,2}{1-0,1035}$

$p_{\overline{T}}(M)=\frac{2}{1793}$

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