Corrigé Epreuve 1997 : Fonctions exponnentielles , Fonctions logarithme , Suites numeriques

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1998 : Probabilité conditionnelle(4pts)

Terminale S1 et S3

Corrigé Epreuve 1997 : Fonctions exponnentielles , Fonctions logarithme , Suites numeriques

Détails: Catégorie : Fonctions numériques

Partie A

$g(x)=\ln \left\vert \frac{1+x}{1-x}\right\vert -2x$

$f_{n}(x)=x^{n}e^{-x}$

1) C sym $\acute{e}$ trique par rapport $\grave{a}$ O

$D_{g}= \mathbb{R} -\left\{ -1;1\right\}$ .

Montrons que $g$ est impaire.

si $x\in D_{g}$ alors $-x\in D_{g}$

$g(-x)=\ln \left\vert \frac{1+x}{1-x}\right\vert +2x$

$=\ln \left\vert 1-x\right\vert -\left\vert 1+x\right\vert +2x$

$=-(\ln \left\vert 1+x\right\vert -\ln \left\vert 1-x\right\vert -2x)$

$=-\left( \ln \left\vert \frac{1+x}{1-x}\right\vert -2x\right)$

$=-g(x)$

Donc $g$ est impaire.

Et par suite $(C)$ est symétrique par rapport \`{a} O.

2) Etude de $g$

$g(x)=$ $\ln \left\vert \frac{1+x}{1-x}\right\vert -2x$

g est la somme de 2 fonctions continues et dérivables sur $\mathbb{R} -\left\{ -1;1\right\}$

$g^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}-2$

$=\frac{1-x+1+x-2+2x {{}^2} }{1-x {{}^2} }=\frac{2x {{}^2} }{1-x {{}^2} }$

tableau de variation

$\underset{\lambda \rightarrow +\infty }{\lim }g(x)=-\infty$

$\underset{\lambda \rightarrow 1^{+}}{\lim }g(x)=+\infty$

$\underset{\lambda \rightarrow 1^{-}}{\lim }g(x)=+\infty$

b) Nous avons $\underset{\lambda \rightarrow +\infty }{\lim }g(x)=-\infty$

$\underset{\lambda \rightarrow +\infty }{\lim }g(x)=-\infty$

$\underset{\lambda \rightarrow -\infty }{\lim }g(x)=+\infty$

$\underset{\lambda \rightarrow \pm \infty }{\lim }\ln \left\vert \frac{1+x}{ 1-x}\right\vert =0$

donc la droite d'équation $y=-2x$ est asymptote oblique $(C)$
en - $\infty$ et en + $\infty$

3) $\forall xf^{{}}\in \left] 0,1\right[$ $g$ est strictement croissante et
continue et $g(\left] 0,1\right[ )=\left] 0,+\infty \right[ )$ d'apr $\grave{e}$ s le tableau de variation donc $g(x)>0$ $\forall$ $x\in \left] 0;1\right[$
.

Partie B

1) $\ln \left( \frac{f_{n}^{\prime }(n+x)}{f_{n}(n-x)}\right) =\ln \left( \frac{\left( n+x\right) ^{n}e^{-(n+x)}}{\left( n-x\right) ^{n}e^{-(n-x)}} \right)$

$=\ln \left( \left( \frac{n+x}{n-x}\right) ^{n}e^{-2x}\right)$

$=n\ln \left( -\frac{n+x}{n-x}\right) -2x$

$=n\left[ \ln \left( \frac{1+\frac{x}{n}}{1-\frac{x}{n}}\right) -2\frac{x}{n} \right]$

$=ng\left( \frac{x}{n}\right)$

2) $\forall x\in \left] 0;n\right[ ,\frac{x}{n}\in \left] 0;1\right[$ $\$

et $g\left( \frac{x}{n}\right) >0$

et $ng(\frac{x}{n})>0$

d'apr $\grave{e}$ s A. 3
${{}^\circ}$

donc $\left( \frac{f_{n}\left( n+x\right) }{f_{n}\left( n-x\right) }\right) >1$

$f_{n}\left( n+x\right) >f_{n}\left( n-x\right)$

3) $F$ primitive de $f_{n\text{ }}$ sur $IR$

donc $F^{\prime }\left( x\right) =f_{n}\left( x\right)$ $forall x\in \ IR$

a) $\left[ F\left( n+x\right) \right] ^{\prime }=\left( n+x\right) ^{\prime }F\left( n+x\right)$

$=f_{n}\left( n+x\right)$

donc $x\longmapsto F\left( n+x\right)$ est une primitive de $x\longmapsto f_{n}\left( n+x\right)$

$\left[ F\left( n+x\right) \right] ^{\prime }=-\left[ \left( n-x\right) ^{\prime }F^{\prime }\left( n-x\right) \right]$

$=+f_{n}\left( n-x\right)$

donc $x\longmapsto -F\left( n-x\right)$ est une primitive de $x\longmapsto f_{n}\left( n-x\right)$

b) $\int_{0}^{n}f_{n}\left( t\right) dt=F\left( n\right) -F\left( 0\right)$

$\int_{0}^{n}f_{n}\left( n-t\right) dt=-F\left( n-t\right) \left] _{0}^{n}\right. =F\left( n\right) -F\left( 0\right)$

donc $\int_{0}^{n}fn\left( tdt\right) =\int_{0}^{n}f_{n}\left( n-t\right) dt$

$\int_{0}^{2n}f_{n}\left( t\right) dt=F\left( 2n\right) -F\left( n\right)$

$\int_{0}^{n}f_{n}\left( n+t\right) dt=-F\left( n-t\right) \left] _{0}^{n}\right. =F\left( 2n\right) -F\left( n\right)$

donc $\int_{0}^{2n}fn\left( t\right) dt=\int_{0}^{n}f_{n}\left( n+t\right) dt$

4) Nous avons $f_{n}\left( n+x\right) >f_{n}\left( n-x\right)$

donc $\int_{0}^{n}f_{n}\left( n+x\right) dx>\int_{0}^{n}f_{n}\left( n-x\right) dx$

$\int_{n}^{2n}f_{n}\left( x\right) dx>\int_{0}^{n}f_{n}(x)dx$

C'est- $\grave{a}$ -dire $\int_{0}^{n}f_{n}(t)dt<\int_{n}^{2n}f_{n}^{\prime }(t)dt$

$\int_{0}^{n}f_{n}(t)dt< \int_{0}^{2n}f_{n}(t)dt$

Partie C

$x\in \mathbb{R} ^{+\text{ \ \ }}I_{n}\left( x\right) =\int_{0}^{x}\left( x\right) =\int_{0}^{x}f_{n}\left( t\right) dt$

a $)$ $I_{1}\left( x\right) =\int_{0}^{x}f_{1}(t)dt$

$=\int_{0}^{x}te^{-t}dt$

on pose

$u\left( t\right) =t$
$u^{\prime }\left( t\right) =1$

$v^{\prime }\left( t\right) =e^{-t}$
$v\left( t\right) =-e^{-t}$

$I_{1}\left( x\right) =-te^{-t}\left] _{0}^{x}\right. -\int_{0}^{x}e^{-t}dt$ $=-xe^{-x}+\left[ -e^{-t}\right] _{0}^{x}$

$=-xe^{-x}-e^{-x}+1$

$I_{1}\left( x\right) =1-e^{-x}\left( x+1\right)$

b) $I_{n}\left( x\right) =\int_{0}^{x}t^{n}e^{-t}dt$

on pose $u^{\prime }\left( t\right) =t^{n}$ $u\left( t\right) = \frac{t^{n+1}}{n+1}$ \ \ $v\left( t\right) =e^{-t}$ \ $v^{\prime }\left( t\right) =-e^{-t}$

$I_{n}\left( x\right) =\left[ \frac{t^{n+1}}{n+1} e^{-t}\right] _{0}^{x}-\int_{0}^{x}-\frac{t^{n+1}}{n+1}e^{-t}dt$

$=\frac{x^{n+1}}{n+1} e^{-x}-\int_{0}^{x}-\frac{t^{n+1}}{n+1}e^{-t}dt$

$=\frac{x^{n+1}}{n+1}e^{-x}+ \frac{1}{n+1}\int_{0}^{x}t^{n+1}edt$

$I_{n}\left( x\right) =\frac{ x^{n+1}}{n+1}e^{-x}+\frac{1}{n+1}.I_{n+1.}e^{-x}$

c) si $n=1$ alors $\ I_{1}\left( x\right) =1-e^{-x}\left( x+1\right)$

\begin{enumerate}
\item $=1!\left( 1-e^{-x}\left( \frac{x^{0}}{0!}+\frac{x^{1}}{1!}\right) \right)$
\end{enumerate}

donc la relation est vraie

on suppose que : $\int_{0}^{x}f_{n}\left( t\right) dt=n!\left( 1-e^{-x} \overset{n}{\underset{k=0}{\sum }}\frac{x^{k}}{k!}\right)$

et montrons que : $\int_{0}^{x}f_{n+1}(t)dt=(n+1)!\left( 1-e^{-x}\overset{n+1 }{\underset{k=0}{\sum }}\frac{x^{k}}{k!}\right)$

on a : $\int_{0}^{x}f_{n+1}(t)dt=\left( n+1\right) I_{n}^{\prime }(x)-x^{n+1}e^{-x}$

$=(n+1)+n!\left( 1-e^{-x}\overset{n}{\underset{k=0}{\sum }}\frac{x^{k}}{k!} \right) -x^{n+1}e^{-x}$

$=\left( n+1\right) !\left[ 1-e^{-x}\underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}\frac{ x^{k}}{k!}-\frac{x^{n+1}e^{-x}}{\left( n+1\right) }\right]$

$=\left( n+1\right) !\left[ 1-e^{-x}\underset{k=0}{\overset{n+1}{\sum }} \frac{x^{k}}{k!}\right]$

donc la relation est vraie au rang $n+1$ .

Conclusion

$\int_{0}^{x}f_{n}^{\prime }(t)dt=n!\left( 1-e^{-x}\overset{n+1}{\underset{ k=0}{\sum }}\frac{x^{k}}{k!}\right)$

2
${{}^\circ}$
) on a : $\int_{0}^{x}f_{n}^{\prime }(t)dt=n!\left( 1-e^{-x}-e^{-x}x-e^{-x} \frac{x {{}^2} }{2}-........-e^{-x}\frac{x^{n}}{n!}\right)$