1997 : Fonctions exponnentielles , Fonctions logarithme , Suites numériques(11 pts)

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Fonctions numériques

1997 : Fonctions exponnentielles , Fonctions logarithme , Suites numériques(11 pts)

Terminale S1 et S3

1997 : Fonctions exponnentielles , Fonctions logarithme , Suites numériques(11 pts)

Détails: Catégorie : Fonctions numériques

Le but du problème est de montrer l’inégalité suivante :

$\forall n\in \mathbb{N} ,\overset{n}{\sum }_{k=0}\frac{n^{k}}{k!}>\frac{e^{n}}{2}$

Soit n un entier strictement positif .

Soit g la fonction définie sur $\mathbb{R} - \left\{ -1;1\right\}$ par: $g(x)=\ln \left\vert \frac{1+x}{1-x}\right\vert -2x$

Soit f, la fonction définie sur IR par $f_{n}(x)=x^{n}e^{x}$

Partie A

Soit C la courbe représentative de g dans le repère orthonormal $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$

1) Montrer que C est symétrique par rapport à O

2) a) Etudier g.

b) Montrer que C admet une asymptote oblique en plus et moins l’infini .

c) Tracer la courbe C .

3) Montrer que $\forall x\in \left] 0,1\right[ ,g(x)>0$

Partie B

1) Montrer que : $\ln \left[ \frac{f_{n}(n+x)}{f_{n}(n-x)}\right] =ng(\frac{x}{n})$

2) En déduire que : $\forall x\in \left] 0,n\right] ,f_{n}(n+x)>f_{n}(n-x)$

3) Soit F une primitive sur $\mathbb{R}$ de $f_{n}$

a) Montrer $\left( x\longmapsto F(n+x)\right)$ que est une primitive de $(x\longmapsto f_{n}^{\prime }(n+x))$ et que $\left( x\longmapsto F(n-x)\right)$ est une primitive de $(x\longmapsto f_{n}^{\prime }(n+x))$

b) En déduire les égalités : $\int_{0}^{n}f_{n}(t)dt=\int_{0}^{n}f_{n}(n-t)dt$ et $\int_{n}^{2n}f_{n}(t)dt=\int_{0}^{n}f_{n}(n+1)dt$

4) En déduire que : $\int_{0}^{n}f_{n}(t)dt<\int_{n}^{2n}f_{n}(t)dt$ .

Partie C

1) Pour tout $x\in \mathbb{R}^{+}$ on pose $I_{n}(x)=\int_{0}^{x}f_{n}(t)dt$

a) Calculer $I_{1}(x)$

b) Donner une relation entre $I_{n+1}(x)$ et $I_{n}(x)$
.

c) Montrer par récurrence que : $\int_{0}^{x}f_{n}(t)dt=n!\left[ 1-e^{-x}\overset{n}{\underset{k=0}\sum}\frac{x^{k}}{k!}\right]$ .

2) En déduire, pour n fixé, que $\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }\left( \int_{0}^{x}f_{n}(t)dt\right)=n!$

3) En déduire, à l’aide du B]4) que :
$2\int_{0}^{n}f_{n}(t)dt<\int_{n}^{2n}f_{n}(t)dt<n!$

4) En déduire, à l’aide du C]1) c) et 3) ,que : $\overset{n}{\underset{k=0}\sum} {\frac{x^{k}}{k!}}>\frac{e^{n}}{2}$

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