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Corrigé Epreuve 2001 : Etude de fonctions et suites numeriques ( 09 pts)

Détails: Catégorie : Fonctions numériques

Partie I

1- Limites et variations de $g_{n}$

$\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }g_{n}\left( x\right) =\underset{ x\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x^{n}}=0$

. $\underset{x\rightarrow 0^{+}}{\lim }g_{n}\left( x\right) =-\infty$

. $g_{n}^{\prime }\left( x\right) =\frac{1-n\ln x}{x^{n-1}}$

Dans $\left] 0,+\infty \right[$ \ \ $g_{n}^{\prime }\left( x\right) >0\Longleftrightarrow 1-n\ln x>0\Longleftrightarrow x<\sqrt[n]{e}$

2- Tracé de C1

Les asymptotes sont les droites d'équations $x=0$ et $y=0$

3-a)

$I_{1}\left( \lambda \right) =\int_{1}^{\lambda }\left( \frac{\ln t}{t} \right) dt=\left[ \frac{1}{2}\left( \ln t\right) {{}^2} \right] _{1}^{\lambda }$

donc $I\left( \lambda \right) -\frac{1}{2}\left( \ln \lambda \right) {{}^2}$

b) pour $n\simeq 2$

$I_{n}\left( \lambda \right) =\int_{1}^{\lambda }\left( \ln t.\frac{1}{t^{n}} \right) dt=\frac{1}{-n+1}\left[ \ln t\frac{1}{t^{n-1}}\right] _{1}^{\lambda }-\frac{1}{-n+1}\int_{1}^{\lambda }\left( \frac{1}{t}\frac{1}{t^{n-1}} \right) dt$

$=\frac{\ln \lambda }{\left( -n+1\right) \lambda ^{n-1}}-\frac{1}{\left( -n+1\right) }\left[ \lambda ^{n+1}-1\right]$

$A=\int_{2}^{\lambda }g_{2}\left( t\right) dt=-\left[ \ln t\frac{1}{t}\right] _{2}^{\lambda }-\frac{1}{\left( 1\right) {{}^2} }\left[ t^{-1}\right] _{2}^{\lambda }$

$=\frac{\ln \left( \lambda \right) }{2}-\frac{\ln \lambda }{\lambda }+\frac{1 }{2}-\frac{1}{\lambda }$

c) $\underset{\lambda \rightarrow +\infty }{\lim }I_{n}\left( \lambda \right) =\frac{1}{\left( 1-n\right) {{}^2} }$

Partie II

1- Dans $\left[ p,p+1\right]$ on a $g_{2}\left( p+1\right) \leq g_{2}\left( t\right) \leq g_{2}\left( p\right)$ car $g_{2}$ est décroissante

donc $\int_{p}^{p+1}g_{2}\left( p+1\right) dt\leq \int_{p}^{p+1}g_{2}\left( t\right) dt\leq \int_{p}^{p+1}g_{2}\left( p\right) dt$

Puisque $\left( p+1\right)$ et $g_{1}\left( p\right)$ sont constant on a :

$g_{2}\left( p+1\right) <\int_{p}^{p+1}g_{2}\left( t\right) dt\leq$ $\int_{p}^{p+1}$

2- a) Croissance de $\left( S_{k}\right) \geq 2$

Calculons $S_{k+1}-S_{k}=\underset{i=2}{\overset{k+1}{\sum }}\frac{\ln i}{i {{}^2} }-\overset{k}{\underset{i=2}{\sum }}\frac{\ln i}{i {{}^2} }$

$=\frac{\ln \left( K+1\right) }{\left( K+1\right) {{}^2} }\geq 0$

donc $\left( S_{k}\right) _{k\geq 2\text{ }}$ est croissante

b) On a par définition $S_{k}= \sum_{k}^{i=2}{g^2}$

or d'après le $(1)$ de la partie $II$ on a :

$g_{2}\left( 3\right) \leq \int_{2}^{3}g_{2}\left( t\right) dt\leq g_{2}\left( 2\right)$

$g_{2}\left( i+1\right) \leq \int_{i}^{i+1}g_{2}\left( t\right) dt\leq g_{2}\left( i\right)$

$g_{2}\left( K\right) \leq \int_{K-1}^{K}g_{2}\left( t\right) dt\leq g_{2}\left( K-1\right)$

En sommant membre à membre cette double inégalité on obtient :

$S_{k}-g_{2}\left( 2\right) \leq \int_{2}^{K}g_{2}\left( t\right) dt\leq S_{k}-g_{2}\left( K\right)$

c'est a dire $S_{k}-\frac{\ln 2}{2 {{}^2} }\leq \int_{2}^{K}g_{2}\left( t\right) dt\leq S_{k}-\frac{\ln K}{K {{}^2} }$

On a donc $\int_{2}^{K}g_{2}\left( t\right) dt+\frac{\ln K}{K {{}^2} }\leq S_{k}\leq \int_{2}^{K}g_{2}\left( t\right) dt+\frac{\ln 2}{2 {{}^2} }$

c) puisque $A=\int_{2}^{K}g_{2}\left( t\right) dt$ $=\frac{\ln 2}{2}$ $- \frac{\ln K}{K}+\frac{1}{2}-\frac{1}{\lambda }$ est fini.

on a $S_{k}<A+\frac{\ln 2}{2 {{}^2} }$

d) $(S_{k})$ est croissante et majorée donc $(S_{k})$ est convergente.

$\underset{K\rightarrow +\infty }{\lim }A+\frac{\ln K}{K {{}^2} }\leq \underset{K\rightarrow +\infty }{\lim }S_{k}\leq$ $\underset{ K\rightarrow +\infty }{\lim }A+\frac{\ln 2}{2 {{}^2} }$

$\frac{\ln 2}{2}+\frac{1}{2}\leq l\leq \frac{\ln 2}{2}+\frac{1}{2}+\frac{\ln 2}{2 {{}^2} }$

donc $\frac{\ln 2}{2}+\frac{1}{2}\leq l\leq \frac{1}{2}+\frac{3\ln 2}{4}$

Partie III

$\left\{ \begin{array}{c} x\left( t\right) =\frac{\ln t}{t} \\ y\left( t\right) =\frac{\ln t}{t {{}^2} } \end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{c} x^{\prime }\left( t\right) =\frac{1-\ln t}{t {{}^2} } \\ y^{\prime }\left( t\right) =\frac{1-2\ln t}{t^{3}} \end{array} \right.$

Les tangentes sont parallèles:

- l'axe des abscisses au point de coordonnées $\left( \frac{1}{2 \sqrt{e}},\frac{1}{2e}\right)$

- l'axe des ordonnées au point de coordonnées $\left( \frac{1}{ e},\frac{1}{e^{4}}\right)$

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