2001 : Etude de fonctions et suites numeriques ( 09 pts)

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Milieu intérieur

Partie I

On considère pour tout entier naturel n non nul la fonction $g_{n}$ définie sur $\left] 0;+\infty \right[$ par : $g_{n}(x)=\frac{\ln x}{x^{n}}$ .

1. Déterminer les limites de $g_{n}$ aux bornes de l’intervalle $g_{n}(x)=\frac{\ln x}{x^{n}}$

Etudier les variations de $g_{n}$ .

2. Construire la courbe C1, représentative de la fonction $g_{1}$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal, on précisera ses asymptotes.

3. Pour tout réel $\lambda \geq 1$ , on pose: $I_{n}(\lambda )=\int_{1}^{\lambda }g_{x}(t)dt$

a) Calculer $I_{1}(\lambda )$

b) Calculer $I_{n}(\lambda )$ en fonction de n et de $\lambda$ pour $n\geq 2$

Déduire de ce résultat la valeur de : $A=\int_{2}^{\lambda }g_{2}(t)dt$

c) Soit n un entier naturel non nul fixé.

d) Calculer $\underset{\lambda \rightarrow +\infty }{\lim }I_{n}(\lambda )$ .

Partie II

On considère la fonction telle que : $g_{2}(x)=\frac{\ln x}{x^{2}}$ .

1. Montrer que pour tout entier naturel p, $p\geq 2$ : $g_{2}(p+1)\leq \int_{p}^{p+1}g_{2}(t)\leq g_{2}(p)$

2. On considère la suite $(S_{k})$ $k\geq 2$ définie par son terme général : $S_{k}=\overset{k}{\underset{i=2}{\sum }}\frac{\ln i}{i^{2}}$ .

a) Montrer que la suite $(S_{k})$ $k\geq 2$ est croissante.

b) Montrer que $S_{k}-\frac{\ln 2}{2^{2}}\leq \int_{2}^{k}g_{2}(t)dt\leq S_{k}-\frac{\ln k}{k^{2}}$ .

En déduire un encadrement de $S_{k}$ .

c) En utilisant la valeur de A, montrer que la suite $S_{k}$ est majorée.

d) Montrer que la suite $(S_{k})$ est convergente et que sa limite $\ell$ vérifie :

$\frac{1}{2}+\frac{\ln 2}{2}\leq \ell \leq \frac{1}{2}+\frac{3\ln 2}{4}$

Partie III

On considère la courbe (T) définie paramétriquement par :

$\lceil x(t)=g_{1}(t)$

$\lfloor y(t)=g_{2}(t)$ où t est un réel $\left[ 1,10\right]$

1. Représenter dans un même tableau les variations des deux fonctions x et y qui à t associent respectivement x(t) et y(t).

2. Représentez la courbe (G) dans un repère orthonormal $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ unité 2cm.

Préciser les points de (G) en lesquels les tangentes sont parallèles à l’un ou l’autre des axes de coordonnées.

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