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Corrigé Epreuve 2005 : Etude de fonctions

Détails: Catégorie : Fonctions numériques

PARTIE A

$(E):y\prime \prime +2ay\prime +a^{~2}y=0$

Soit l'équation associée à (E)

$r^{~2}+2ar+a^{~2}=0$

$\left( r+a\right) ^{~2}=0$ donc $r=-a$

les fonctions solutions $x\mapsto g(x)=\left( C_{~1}x+C_{~2}\right) e^{~-ax}$

$g(x)=\left( C_{~1}x+C_{~2}\right) e^{~-ax}$

$g^{\prime }(x)=C_{~1}e^{~-ax}-ag(x)$

$g(0)=0$ et $g\prime (0)=e\iff C_{~2}=0$ et $C_{~1}=e$

$g(x)=exe^{~-ax}$

$g(x)=xe^{~1-ax}$

PARTIE B

$f_{~a}(x)=xe^{~-ax+1}$

Evaluons $f_{~a}(-x)=-xe^{~ax+1}\qquad (1)$

Evaluons $-f_{~-a}(x)=-\left[ xe^{~-\left( a\right) x+1}\right]$

$-f_{~-a}(-x)=-xe^{~ax+1}\qquad (2)$

En confrontons (1) et (2) on obtient

$f_{~a}(-x)=-f_{~-a}(-x)$

En déduire une transformation permettant d'obtenir $(C_{~-a})$ à partir de $(C_{~a})$

$f_{~a}(x)=$ $-f_{~a}(x)$

$(C_{~-a})=S_{~0}(C_{~a})$

$(C_{~-a})$ est l'image de $(C_{~a})$ par la symétrie de centre
l'origine O du repère.

$f_{~a}(x)=$ $\frac{~1}{~a}f_{~1}(ax)\qquad$ facile à établir

posons $ax=t$ et $y=f_{~a}(x)$ on obtient $x=\frac{~1}{~a}t$ et $y=\frac{~1}{ ~a}f_{~1}(t)$

donc $(C_{~a})$ est l'image de $(C_{~1})$ par l'homothétie centrée
en l'origine du repère et de rapport $\frac{~1}{~a}.$

$f_{~0}(x)=xe$

$f_{~0}$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$

$f_{~1}(x)=xe^{~-x+1}\qquad f_{~1}^{\prime }(x)=e^{~-x+1}(1-x)$

tableau de variation de $f_{1}$

a) Les points fixes sont les points communs aux courbes $(C_{~a})$
lorsque $a$ décrit $\mathbb{R}$

$(C_{~a+1}):f_{a+1}(x)=xe^{~-\left( a+1\right) x+1}$

$f_{a+1}(x)=xe^{~-ax+1}e^{~-x}$

posons $f_{a+1}(x)-f_{a}(x)=0$

$xe^{~-ax+1}e^{~-x}-xe^{~-ax+1}=0$

$xe^{~-ax+1}\left( e^{~-x}-1\right) =0$

$x=0$ $f_{a}(0)=0$

le point fixe commun à toutes les courbes $(C_{~a})$ est l'origine O du
repère.

b) $E=\left\{ M(x,y)/xy>0\right\}$

$y=xe^{~-ax+1}$

$\frac{~y}{~x}=e^{~-ax+1}$

$e^{~-1}\frac{~y}{~x}=e^{~-ax}$

$^{~}-ax=\ln \frac{~y}{~xe}$

$ax=\ln \frac{xe}{y}$

$a=\frac{~1}{~x}\ln \frac{xe}{y}$

pour tout couple $(x,y)$ de $E$ il existe un unique réel $a$

5)
$(C_{-1})$ est l'image de $(C_{1})$ par la symétrie centrale de centre $O$

$(C_{\frac{1}{2}})$ est l'image de $(C_{1})$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport 2.

PARTIE C

$I_{~a}=\dint\nolimits_{0}^{1}f_{~a}(x)dx$

La fonction $x\longmapsto f_{~a}(x)$ est continue sur $\left[ 0,1 \right]$

donc $I_{~a}u_{~a}$ = $\dint\nolimits_{0}^{1}f_{~a}(x)dx\times u_{~a}$ est
l'aire de la région du plan délimitée par les droites d'équation $x=0$ , $x=1$ , l'axe des abscisses et $(C_{~a})$

$I_{~a}=\dint\nolimits_{0}^{1}xe^{~-ax+1}dx$

par intégration par partie

$u=x$ $v\prime =e^{~-ax+1}$

$u\prime =1$ $v=\frac{~1}{~a}e^{~-ax+1}$

$I_{~a}=\left[ \frac{~-x}{~a}e^{~-ax+1}\right] _{0}^{1}+\frac{~1}{~a} \dint\nolimits_{0}^{1}e^{~-ax+1}dx$

$I_{~a}=\left[ \frac{~-x}{~a}e^{~-ax+1}-\frac{~1}{~a^{~2}}e^{~-ax+1}\right] _{0}^{1}=\frac{-~1}{~a}e^{~-a+1}-\frac{~1}{~a^{~2}}e^{~-a+1}+\frac{e}{~a^{~2} }$